Определение эффективной массы
Эффективная масса — это величина, характеризующая динамическое поведение электронов или дырок в кристаллической решётке твёрдого тела. В отличие от свободного электрона в вакууме, движение носителей заряда в кристалле происходит в периодическом потенциале, создаваемом ионами решётки. Это приводит к тому, что ускорение электрона под действием внешнего поля отличается от ускорения свободной частицы с массой m0. Чтобы описывать это движение на языке ньютоновской механики, вводится эффективная масса m*, определяемая через кривизну энергетической зоны:
$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E(\mathbf{k})}{d \mathbf{k}^2} $$
Здесь E(k) — дисперсионное соотношение (энергия электрона как функция квазиимпульса k), ℏ — редуцированная постоянная Планка.
Физический смысл эффективной массы
Эффективная масса отражает отклик электрона на внешние воздействия (электрическое или магнитное поле) и определяется не только инерционными свойствами, но и взаимодействием с кристаллической средой. При положительной кривизне зоны (выпуклой вверх) эффективная масса положительна, что соответствует поведению обычных электронов. При отрицательной кривизне (вогнутая зона, как на вершине валентной зоны) масса становится отрицательной — такое поведение интерпретируется как движение квазичастиц с положительным зарядом, называемых дырками.
Эффективная масса в изотропных и анизотропных зонах
Если зона симметрична, и E(k) зависит только от модуля k, эффективная масса — скалярная величина. Однако в реальных кристаллах, особенно с низкой симметрией, дисперсионное соотношение может быть анизотропным. В этом случае эффективная масса становится тензорной величиной второго ранга:
$$ \left( \frac{1}{m^*} \right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} $$
Такой тензор описывает, как ускорение носителя зависит от направления приложения силы. Диагонализация тензора позволяет определить главные значения и главные оси эффективной массы.
Связь с уравнением движения
Пусть на электрон действует внешняя сила F. Уравнение движения квазичастицы имеет форму:
$$ \mathbf{F} = \hbar \frac{d \mathbf{k}}{dt} $$
При этом скорость носителя определяется как групповая скорость:
$$ \mathbf{v} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k}) $$
Дифференцируя по времени, получаем:
$$ \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d}{dt} \left( \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k}) \right) = \frac{1}{\hbar^2} \left( \sum_j \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} \frac{d k_j}{dt} \right) $$
Отсюда:
$$ \mathbf{F}_i = \sum_j m^*_{ij} \frac{d v_j}{dt} $$
что подтверждает интерпретацию эффективной массы как инерционного тензора.
Эффективная масса в модели почти свободных электронов
В модели почти свободных электронов, где периодический потенциал рассматривается как малое возмущение, эффективная масса может быть вычислена с помощью теории возмущений. На границах зонных щелей кривизна E(k) изменяется резко, и эффективная масса может сильно отличаться от массы свободного электрона. Например, вблизи границ зоны Бриллюэна эффективная масса может обращаться в бесконечность (плоская зона) или становиться отрицательной.
Примеры эффективной массы в реальных материалах
В металлах, где проводимость осуществляется за счёт электронов в частично заполненной зоне проводимости, эффективная масса может быть близка к m0, как, например, в натрии. В полупроводниках, таких как кремний или арсенид галлия, эффективные массы электронов и дырок могут отличаться на порядок. Так, в GaAs эффективная масса электрона составляет me* ≈ 0, 067m0, а тяжёлой дырки — mh* ≈ 0, 45m0.
Эффективная масса и плотность состояний
В задачах статистической физики и термодинамики твёрдого тела, например, при вычислении теплоёмкости или концентрации носителей, используется плотность состояний g(E). Для параболической зоны:
$$ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2 m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} $$
Таким образом, эффективная масса напрямую влияет на количество доступных квантовых состояний при заданной энергии.
Эффективная масса и циклотронный резонанс
Экспериментально эффективную массу можно определить через циклотронный резонанс — явление, при котором заряженные частицы, двигаясь в магнитном поле, совершают круговые орбиты с частотой:
$$ \omega_c = \frac{e B}{m^*} $$
Измеряя частоту ωc, можно определить эффективную массу. Этот метод особенно полезен для изучения зонной структуры полупроводников.
Эффективная масса и транспортные свойства
Эффективная масса входит в выражения для подвижности и электропроводности:
σ = neμ = ne2τ/m*
где τ — среднее время между столкновениями, μ — подвижность. Чем меньше эффективная масса, тем выше подвижность при прочих равных условиях. Это обстоятельство делает материалы с малой эффективной массой особенно привлекательными для применения в высокоскоростной электронике.
Тензор плотности эффективной массы в многозонных системах
В некоторых случаях необходимо учитывать вклад нескольких зон. Например, в условиях высокой температуры или при оптическом возбуждении электроны могут заполнять несколько минимумов зоны проводимости. В таких случаях используют эквивалентную эффективную массу, получаемую как взвешенное среднее:
$$ \frac{1}{m^*_{\text{экв}}} = \sum_i \frac{n_i}{n} \frac{1}{m^*_i} $$
где ni — концентрация носителей в i-м минимуме.