Квантовая природа электропроводности в металлах
В металлах внешние электроны атомов слабо связаны с ионными остатками и могут перемещаться по всему объёму кристалла. Эти электроны рассматриваются как квазисвободные и формируют электронный газ, поведение которого во многом определяет электрические свойства металла. В рамках классической модели Друде электроны описываются как частицы, движущиеся по законам ньютоновской механики и испытывающие столкновения с ионной решёткой. Однако полное описание требует квантовой коррекции, что приводит к модели Друде-Лоренца, дополненной статистикой Ферми-Дирака.
Плотность тока в металле определяется выражением:
j = σE
где j — плотность тока, σ — удельная электропроводность, E — электрическое поле. Согласно модели Друде, электропроводность связана с подвижностью электронов:
$$ \sigma = n e \mu = \frac{n e^2 \tau}{m} $$
Здесь n — концентрация свободных электронов, e — заряд электрона, μ — подвижность, τ — среднее время между столкновениями, m — масса электрона.
Под действием электрического поля электроны приобретают дополнительную дрейфовую скорость, направленную против поля:
$$ \mathbf{v}_d = -\frac{e \tau}{m} \mathbf{E} $$
Несмотря на наличие теплового движения с гораздо большей скоростью, именно дрейфовое движение определяет направленный перенос заряда и формирует электрический ток.
Классическая модель переоценивает вклад всех электронов в проводимость. Квантовая статистика Ферми-Дирака показывает, что при температуре, близкой к нулю, только электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, способны изменять своё состояние под действием электрического поля:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + 1} $$
где μ ≈ EF — химический потенциал, равный энергии Ферми при T → 0, k — постоянная Больцмана. Только электроны в слое толщиной порядка kT около EF могут участвовать в транспортных процессах.
Плотность состояний g(E) определяет число доступных квантовых состояний в интервале энергий:
$$ g(E) \propto \sqrt{E} $$
Эффективное число проводящих электронов определяется как:
nэфф ∼ g(EF) ⋅ kT
Таким образом, несмотря на высокую концентрацию свободных электронов, только малая их доля реально участвует в переносе заряда.
С увеличением температуры наблюдается уменьшение времени релаксации τ, обусловленное ростом интенсивности рассеяния электронов на фононах. Это ведёт к уменьшению проводимости:
$$ \sigma(T) \sim \frac{1}{T} $$
Однако при низких температурах рассеяние на фононах ослабевает, и начинают доминировать дефектные и гранечно-рассеяние, что приводит к насыщению сопротивления.
Наблюдается эмпирическая связь между теплопроводностью κ и электропроводностью:
$$ \frac{\kappa}{\sigma T} = L $$
где L — постоянная Лоренца:
$$ L = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k}{e} \right)^2 $$
Этот закон объясняется тем, что перенос тепла и заряда осуществляют одни и те же электроны.
При помещении проводника с током в магнитное поле возникает поперечная разность потенциалов (напряжение Холла), что позволяет определить знак и плотность носителей заряда:
$$ E_H = \frac{j B}{n e} $$
Эффект Холла является важным методом для диагностики природы носителей тока.
Более точное описание требует учёта зонной структуры кристаллов. В металлах валентная зона перекрывается с зоной проводимости, либо сама по себе не полностью заполнена. Движение электронов описывается не свободной массой m, а эффективной массой m*, связанной с кривизной зоны энергии E(k):
$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{d k^2} $$
Таким образом, динамика носителей в металлах определяется кривизной зоны около уровня Ферми, что может приводить к существенным отличиям от классических предсказаний.
Модель свободных электронов не учитывает корреляции между электронами. Однако в реальных металлах кулоновские взаимодействия приводят к возникновению коллективных эффектов, таких как плазмоны. Плазменная частота описывает характерную частоту коллективных колебаний электронного газа:
$$ \omega_p = \sqrt{ \frac{n e^2}{\varepsilon_0 m} } $$
Эти колебания играют ключевую роль в отражательной способности металлов и в их оптических свойствах.
В кристаллах с анизотропной зонной структурой электропроводность может существенно зависеть от направления тока относительно кристаллографических осей. Кроме того, в тонких плёнках и наноструктурах возникают квантовые размерные эффекты, когда характерный размер становится сравнимым с длиной свободного пробега.
Нарушения периодичности кристаллической решётки, такие как примеси и вакансии, приводят к дополнительному рассеянию электронов. При низких температурах, когда фононное рассеяние исчезающе мало, именно импуритное рассеяние определяет конечную проводимость:
σ(T → 0) = const
Это значение называют остаточной проводимостью, а соответствующее сопротивление — остаточным сопротивлением.
В определённых условиях при понижении температуры металлы могут переходить в сверхпроводящее состояние, характеризующееся исчезновением электрического сопротивления. Это явление качественно отличается от обычной проводимости и требует учёта парной корреляции электронов (куперовские пары), что выходит за рамки обычной теории проводимости.
Электропроводность металлов — это сложный квантово-механический процесс, в котором переплетаются статистика, зонная структура, взаимодействия и рассеяние. Современное понимание требует комплексного подхода, опирающегося как на эксперименты, так и на развитую теоретическую базу квантовой теории твёрдого тела.