Кристаллические решётки и симметрия твёрдых тел
Периодичность атомного строения твёрдых тел
В твёрдом теле атомы располагаются в пространстве с определённым порядком. В случае кристаллических веществ этот порядок является периодическим — структура повторяется в трёхмерном пространстве. Такой тип организации называется кристаллической решёткой. Она представляет собой абстрактную сетку, узлы которой соответствуют положениям идентичных групп атомов — базисов.
Кристаллическая решётка определяется совокупностью трансляционных векторов. Если выбрать произвольный узел решётки, его положение можно выразить как
R⃗ = n1a⃗1 + n2a⃗2 + n3a⃗3,
где n1, n2, n3 ∈ ℤ — целые числа, а a⃗1, a⃗2, a⃗3 — периодические векторы элементарной ячейки.
Элементарная ячейка и примитивная ячейка
Элементарная ячейка — минимальный объём, при многократном переносе которого по векторам трансляции восстанавливается вся решётка. Наиболее экономной по объёму является примитивная ячейка — содержащая ровно один узел решётки. Существуют и не примитивные ячейки — например, кубическая элементарная ячейка может содержать два и более узлов.
Параметры элементарной ячейки включают длины векторов a, b, c и углы между ними α, β, γ. Эти параметры определяют симметрию решётки и её принадлежность к определённой кристаллографической системе.
Классификация кристаллических систем
Существует 7 кристаллографических систем, в зависимости от соотношения длин векторов и углов между ними:
Бравэ и типы решёток
Французский кристаллограф Огюст Бравэ установил, что существуют 14 уникальных трёхмерных решёток — так называемых решёток Бравэ. Эти решётки представляют собой все возможные способы упорядоченного периодического размещения идентичных точек в пространстве с учётом симметрии.
Для каждой кристаллографической системы возможно несколько типов решёток:
Симметрия кристаллов
Кристаллические структуры обладают высоким уровнем симметрии. Основные элементы симметрии включают:
Совокупность всех возможных симметрий кристаллической структуры описывается понятием пространственной группы. В трёхмерном пространстве существует 230 пространственных групп, каждая из которых соответствует определённому типу кристаллической симметрии.
Мотив и атомная подрешётка
Реальный кристалл — это не просто решётка точек. Каждому узлу соответствует группа атомов — мотив или базис. Таким образом, полное описание структуры кристалла — это совокупность решётки и базиса. Например, в структуре NaCl (галит) каждый узел содержит пару ионов Na+ и Cl−, расположенных по определённой схеме.
Индексы Миллера и кристаллографические плоскости
Для описания ориентации плоскостей и направлений в кристалле используется система индексов Миллера. Для плоскостей:
Например, плоскость, пересекающая оси x, y, z на расстояниях a, b, ∞ будет иметь индексы (110).
Для направлений в кристалле используется запись в квадратных скобках — например, направление [100] соответствует вектору вдоль оси x.
Плотность упаковки и координационное число
Кристаллические решётки могут различаться по плотности упаковки атомов. Два ключевых параметра:
Для трёх основных структур:
| Тип решётки | CN | APF |
|---|---|---|
| Простая кубическая | 6 | 0.52 |
| Объёмно-центрированная (BCC) | 8 | 0.68 |
| Гранецентрированная (FCC) | 12 | 0.74 |
FCC обладает наивысшей плотностью упаковки среди всех кубических решёток.
Анизотропия свойств кристаллов
Из-за различий в ориентации атомных плоскостей кристаллы часто проявляют анизотропию — зависимость физических свойств от направления. Например, коэффициент теплопроводности, модули упругости, показатели преломления могут отличаться вдоль различных кристаллографических осей.
Анизотропия особенно важна в области полупроводников, пьезоэлектриков и оптических материалов.
Точечные дефекты и реальные кристаллы
В реальности кристаллы не идеальны. Они содержат дефекты, которые можно классифицировать по размерности:
Точечные дефекты играют ключевую роль в электрических, диффузионных и механических свойствах кристаллов. Например, примесные атомы в кремнии радикально изменяют его проводимость.
Поликристаллические и аморфные материалы
Большинство твёрдых тел в природе — поликристаллы, состоящие из множества кристаллитов, ориентированных случайным образом. Между ними располагаются границы зёрен, которые существенно влияют на механические свойства.
Противоположностью кристаллических материалов являются аморфные тела, в которых отсутствует дальний порядок. Их структура напоминает жидкость, застывшую без кристаллизации. Примеры: стекло, некоторые полимеры.
Законы роста кристаллов и морфология
Форма кристаллов зависит от относительных скоростей роста различных кристаллографических плоскостей. Плоскости с медленным ростом становятся доминирующими в внешней форме кристалла. Этим объясняется, например, появление характерных граней у кристаллов кварца или соли.
Морфология определяется не только внутренней симметрией, но и условиями роста — температурой, концентрацией веществ, наличием примесей.
Заключительные замечания по кристаллографии
Кристаллография лежит в основе понимания структуры и свойств твёрдых тел. Она обеспечивает формальный язык для описания внутреннего строения вещества, классификации материалов и анализа их физических характеристик. Современные методы исследования, такие как рентгеновская дифракция и электронная микроскопия, позволяют с высокой точностью определять параметры решётки и типы симметрии, что критически важно для разработки новых функциональных материалов.