Рассматривается идеализированная система — бесконечная одномерная цепочка одинаковых атомов массы m, расположенных равномерно с шагом a и взаимодействующих только с ближайшими соседями посредством упругих сил. При малых отклонениях от положения равновесия взаимодействие между атомами аппроксимируется линейной зависимостью (модель гармонического осциллятора). Потенциальная энергия между соседними атомами записывается в виде:
$$ U = \frac{1}{2} K (u_{n+1} - u_n)^2 $$
где K — постоянная силы (жесткость связи), un(t) — смещение n-го атома от положения равновесия в момент времени t.
Применяя второй закон Ньютона к каждому атому цепи, получаем уравнение движения:
$$ m \frac{d^2 u_n}{dt^2} = K (u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n) $$
Это дискретное волновое уравнение описывает динамику колебаний вдоль цепочки.
Решение ищется в виде плоской волны:
un(t) = Aei(qna − ωt)
где q — волновой вектор, ω — круговая частота, A — амплитуда.
Подстановка в уравнение движения приводит к дисперсионному соотношению:
$$ \omega(q) = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} \left| \sin\left( \frac{qa}{2} \right) \right| $$
$$ \omega_{\text{max}} = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} $$
$$ v_s = \lim_{q \to 0} \frac{\omega}{q} = a \sqrt{\frac{K}{m}} $$
$$ v_{\text{ph}}(q) = \frac{\omega(q)}{q} $$
$$ v_{\text{gr}}(q) = \frac{d\omega}{dq} = a \sqrt{\frac{K}{m}} \cos\left( \frac{qa}{2} \right) $$
Групповая скорость характеризует скорость распространения энергии и волнового пакета по цепочке. Максимум достигается при q = 0 и равен vs. При $q = \pm \frac{\pi}{a}$ групповая скорость обращается в ноль.
Поскольку функция ω(q) периодична, все физически различимые волновые состояния можно ограничить первой зоной Бриллюэна:
$$ - \frac{\pi}{a} \le q \le \frac{\pi}{a} $$
Это обосновано трансляционной симметрией кристаллической решётки: волновые числа, отличающиеся на величину обратной решётки $\frac{2\pi}{a}$, эквивалентны.
Для анализа тепловых свойств необходимо учитывать число колебательных мод на единицу интервала частоты. Плотность состояний в пространстве q при периодических граничных условиях равномерна:
$$ \rho_q = \frac{N}{2\pi} $$
Где N — число атомов в цепочке. Переходя к плотности состояний по частоте ρ(ω), используем правило преобразования:
$$ \rho(\omega) = \rho_q \left| \frac{dq}{d\omega} \right| = \frac{N}{\pi a} \frac{1}{\sqrt{4K/m - \omega^2}} $$
Таким образом, плотность состояний стремится к бесконечности при ω → ωmax, что отражает замедление групповой скорости на границах зоны Бриллюэна.
При отсутствии взаимодействия между нормальными модами каждая колебательная мода эквивалентна гармоническому осциллятору с энергией:
$$ E_q = \hbar \omega(q) \left( n_q + \frac{1}{2} \right) $$
где nq — число возбуждённых квантов (фононов) в моде с волновым вектором q. Эти кванты называются фононами — квазичастицами колебательного поля кристалла.
Квантовая теория твердого тела описывает колебания цепочки в терминах фононов. Фонон с волновым вектором q и энергией ℏω(q) обладает:
Число фононов в каждой моде подчиняется распределению Бозе–Эйнштейна:
$$ \langle n_q \rangle = \frac{1}{e^{\hbar \omega(q) / k_B T} - 1} $$
где T — абсолютная температура, kB — постоянная Больцмана.
Теплоёмкость одномерной цепочки при низких температурах определяется низкочастотными фононными модами, для которых ω(q) ≈ vs|q|. В этом приближении плотность состояний линейна по ω, и суммарная энергия записывается как:
E(T) = ∫0ωmaxℏω⟨n(ω)⟩ρ(ω)dω
Анализ этого выражения показывает, что при T ≪ ℏωmax/kB теплоёмкость C ∼ T, что согласуется с моделью Дебая для одномерного случая.
При q → 0 осцилляции представляют собой продольные акустические волны с постоянной фазовой скоростью vs. Это позволяет связать параметры атомарной модели с макроскопическими упругими характеристиками цепочки. Модуль Юнга E выражается через параметры модели:
$$ E = \frac{Ka}{S} $$
где S — эффективная площадь поперечного сечения цепи. Плотность массы $\rho = \frac{m}{aS}$, и тогда скорость звука:
$$ v_s = \sqrt{\frac{E}{\rho}} $$
что совпадает с выражением, полученным ранее из микроскопической модели.
Рассмотренная модель может быть расширена и уточнена:
Такие обобщения необходимы для адекватного описания реальных кристаллических систем, но гармоническая одномерная цепочка остаётся фундаментальной моделью, лежащей в основе теории колебаний в твёрдых телах.