Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана в физике твёрдого тела

Кинетическое уравнение Больцмана служит фундаментом для описания динамики носителей заряда и энергии в твёрдом теле. Оно позволяет рассматривать эволюцию функции распределения частиц во времени и пространстве с учётом внешних полей, столкновений, рассеяния и градиентов температуры или химического потенциала.

Функция распределения f(r, k, t) представляет собой вероятность нахождения квазичастицы (электрона, дырки) с волновым вектором k в положении r в момент времени t. Её динамика определяется кинетическим уравнением Больцмана:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v_k} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} $$

Здесь:

  • $\mathbf{v_k} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} \varepsilon(\mathbf{k})$ — групповая скорость квазичастиц;
  • F — внешняя сила (например, электрическое поле);
  • Правая часть описывает изменение f вследствие столкновений, в частности, рассеяния на фононах, примесях, других электронах.

Линеаризованная форма уравнения Больцмана

В условиях, близких к равновесию, применяют приближение слабого отклонения от равновесного распределения Ферми–Дирака f0(ε). Тогда можно записать:

f = f0 + δf

и линеаризовать уравнение Больцмана по δf. Это особенно удобно для анализа отклика системы на слабое внешнее поле или температурный градиент. В этом случае:

$$ \frac{\partial f_0}{\partial t} + \mathbf{v_k} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} \delta f + \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{k}} f_0 = -\frac{\delta f}{\tau(\mathbf{k})} $$

где τ(k) — время релаксации, определяющее скорость возвращения к равновесию.

Модель релаксации τ-приближения

Наиболее широко используемая модель для правой части уравнения Больцмана — это приближение релаксации к локальному равновесию:

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} = -\frac{f - f_0}{\tau} $$

Это приближение справедливо в условиях, когда рассеяния приводят систему к термодинамическому равновесию за характерное время τ, причём считается, что τ зависит от энергии или волнового вектора, но не от времени или координаты.

Электропроводность и уравнение Больцмана

Важным приложением кинетического уравнения является вывод формулы для проводимости. Предположим, что на систему действует постоянное электрическое поле E. Тогда сила на квазичастицу:

F = −eE

и стационарное уравнение Больцмана в τ-приближении принимает вид:

$$ -e\mathbf{E} \cdot \nabla_{\mathbf{k}} f_0 = -\frac{\delta f}{\tau} $$

Решение:

δf = eτE ⋅ ∇kf0

Подставляя это в выражение для плотности тока:

$$ \mathbf{j} = -2e \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \mathbf{v_k} \delta f $$

и используя выражение для vk, получаем:

$$ \mathbf{j} = 2e^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \tau \mathbf{v_k} (\mathbf{E} \cdot \nabla_{\mathbf{k}} f_0) $$

Из этого выражения, при определённых предположениях о симметрии зоны и однородности системы, выводится тензор проводимости σij.

Теплопроводность и эффект Зеебека

Аналогичным образом, с учётом градиента температуры ∇T, можно вывести выражения для теплового тока и, соответственно, коэффициента теплопроводности и термоэлектрических эффектов. При наличии температурного градиента функция распределения модифицируется:

$$ \delta f = -\tau \left[ \frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon} \right] \mathbf{v_k} \cdot \left( -\frac{\varepsilon - \mu}{T} \nabla T \right) $$

Тепловой ток определяется выражением:

$$ \mathbf{q} = 2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} (\varepsilon - \mu) \mathbf{v_k} \delta f $$

Отсюда извлекаются термоэлектрические коэффициенты — эффект Зеебека, Пельтье, Нернста и др.

Анизотропия, многозонность и тензорный характер уравнения

В реальных твёрдых телах зонная структура может быть весьма сложной, и необходимо учитывать анизотропию эффективной массы и нелинейности дисперсии. В этом случае:

  • Скорость vk — вектор, зависящий от направления k;
  • Время релаксации τ(k) — может быть тензорным;
  • Проводимость становится тензорной величиной σij, с возможными нелинейными эффектами в зависимости от симметрии кристалла.

Особенно важно это при описании проводимости в полупроводниках со сложной многозонной структурой (например, кремний, германий), где необходимо суммировать по вкладам различных зон (валентных, зон проводимости).

Влияние магнитного поля. Эффект Холла

При наличии магнитного поля B сила на частицу дополняется лоренцевым слагаемым:

F = −e(E + vk × B)

Уравнение Больцмана усложняется, но позволяет получить выражения для эффектов Холла, магнетосопротивления и циклотронного резонанса. Появляется дополнительный член в уравнении:

−e(vk × B) ⋅ ∇kf

Решение уравнения в магнитном поле требует учёта траектории квазичастиц в пространстве импульсов, что приводит к недиагональным компонентам тензора проводимости.

Рассеяние и время релаксации

Правая часть уравнения Больцмана зависит от механизма рассеяния:

  • Фононное рассеяние — преобладает при высоких температурах, особенно через акустические фононы (модель Дебая).
  • Рассеяние на ионных примесях — существенно при низких температурах в допированных полупроводниках.
  • Электрон-электронные столкновения — важны в металлах при высоких плотностях носителей.

Общее выражение для столкновительного члена:

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} = \sum_{\mathbf{k}'} \left[ W_{\mathbf{k}' \rightarrow \mathbf{k}} f(\mathbf{k}')(1 - f(\mathbf{k})) - W_{\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{k}'} f(\mathbf{k})(1 - f(\mathbf{k}')) \right] $$

где Wk → k′ — вероятность перехода между состояниями в результате рассеяния.

Квазиклассическое приближение и область применимости

Кинетическое уравнение Больцмана — квазиклассическое приближение, справедливое, если длина свободного пробега l и время релаксации τ много больше характерных квантовых масштабов, а волновые свойства квазичастиц можно учитывать в рамках полуклассического подхода. Оно не применимо:

  • в сильно локализованных состояниях;
  • при сильной интерференции (например, в эффектах слабой локализации);
  • при кулоновом блокировании и в мезоскопических системах.

Современные подходы и обобщения

Современные версии уравнения Больцмана включают:

  • учёт спин-степени свободы и спин-орбитального взаимодействия;
  • обобщения на случаи неупругого и квантового рассеяния;
  • формализм Каданов-Баяма и уравнения Грина для нелинейных и квантовых неравновесных процессов;
  • использование в вычислительной физике для моделирования транспортных явлений на основе первых принципов (DFT + Boltzmann transport equations).

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана представляет собой фундаментальный инструмент теоретической физики твёрдого тела, связывающий микроуровень динамики квазичастиц с макроскопическими наблюдаемыми характеристиками: проводимостью, теплопроводностью, эффектами Холла, термоэлектричеством и другими.

Оглавление