Эффект Холла — это фундаментальное явление, возникающее при наложении магнитного поля на проводник или полупроводник с током. В классической интерпретации, если по пластине течёт ток Ix, а на неё перпендикулярно направлено магнитное поле B = Bzẑ, то возникает поперечное напряжение Vy, называемое холловским. Оно обусловлено действием силы Лоренца, отклоняющей носители заряда в поперечном направлении, до тех пор пока возникающее электрическое поле не уравновесит магнитную силу. Холловское сопротивление определяется как:
$$ R_H = \frac{V_y}{I_x} = \frac{B}{n e} $$
где n — концентрация носителей заряда, e — элементарный заряд. Однако при понижении температуры и переходе в область сильных магнитных полей классическая теория перестаёт описывать наблюдаемое поведение.
Ключевую роль в квантовом эффекте Холла (КЭХ) играет двумерная электронная система (2DES), реализуемая, например, в полупроводниковых гетероструктурах GaAs/AlGaAs, в графене, а также на поверхности топологических изоляторов. В таких системах движение электронов в плоскости xy ограничено, и при наложении сильного перпендикулярного магнитного поля движение электрона квантуется в дискретные уровни — так называемые уровни Ландау:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, ... $$
где $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$ — циклотронная частота, m* — эффективная масса электрона. Каждому уровню Ландау соответствует конечная плотность состояний:
$$ D_n = \frac{eB}{h} $$
Эта дискретизация приводит к квантованию подвижности носителей и к появлению уникальных эффектов в проводимости.
Впервые обнаруженный Клаусом фон Клитцингом в 1980 году, интегральный квантовый эффект Холла наблюдается при низких температурах и высоких магнитных полях в высококачественных 2D системах. Он проявляется в виде ступенчатой зависимости холловского сопротивления от магнитного поля или концентрации носителей:
$$ R_{xy} = \frac{h}{\nu e^2}, \quad \nu \in \mathbb{Z} $$
где ν — целое число, называемое фактором заполнения уровней Ландау. При этом продольное сопротивление Rxx на плато стремится к нулю, что указывает на отсутствие диссипативного тока.
Этот эффект исключительно устойчив к возмущениям и позволяет определять постоянную Планка с высокой точностью. Он связан с топологическими свойствами волновых функций и представляет собой первый пример топологически защищённого квантового явления.
Появление плато в Rxy объясняется наличием краевых состояний. В магнитном поле и при наличии ограниченной геометрии электроны двигаются по циклотронным орбитам, но вблизи границы — по направленным краевым каналам. Эти состояния односторонние (хиральные) и не подвержены обратному рассеянию, что обусловливает устойчивость квантового эффекта Холла к локальным дефектам.
Топологическая интерпретация ИКЭХ базируется на инварианте Черна — целочисленной характеристике волновой функции, связанной с геометрией расслоения состояний Блоха. Проводимость Холла может быть выражена как:
$$ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h}, \quad \nu = \text{интеграл Черна} $$
Таким образом, эффект Холла — это проявление топологических фаз, отличающихся от обычных симметрий.
В 1982 году Цуи, Стормер и Госсард открыли, что плато в Rxy наблюдаются и при дробных значениях ν, например, ν = 1/3, 2/5 и др. Это стало основанием для открытия дробного квантового эффекта Холла, коренным образом отличающегося от интегрального.
ДКЭХ обусловлен коррелированным коллективным поведением электронов в сильном магнитном поле, когда кулоновское взаимодействие становится доминирующим. Основная теория — теория составных фермионов, предложенная Джайном, интерпретирует электроны как связанные с чётным числом квазипотоков магнитного поля. Эти квазичастицы ощущают уменьшенное эффективное поле и подчиняются аналогичному механизму квантования уровней.
ДКЭХ — это проявление новых состояний материи, в которых возбуждения обладают дробным зарядом и могут подчиняться анионной статистике, отличной от фермионной или бозонной.
В графене, обладающем линейным (массовым) спектром электронов, квантовый эффект Холла проявляется иначе. Из-за четырёхкратной вырожденности по спину и валентности уровней Ландау в графене наблюдаются плато при полуцелых значениях фактора заполнения:
$$ \sigma_{xy} = \pm \frac{4e^2}{h} \left(n + \frac{1}{2} \right) $$
Это свидетельствует о природе носителей как безмассовых фермионов Дирака. Кроме того, в графене проявляются как интегральный, так и дробный КЭХ, что делает его уникальной платформой для исследования новых топологических состояний.
Для регистрации квантового эффекта Холла применяются:
Квантовый эффект Холла имеет большое значение как в фундаментальной физике, так и в прикладных технологиях:
Квантовый эффект Холла стал первым эмпирическим подтверждением того, что топологические инварианты могут играть решающую роль в физике конденсированных сред. В отличие от обычных фазовых переходов, сопровождаемых нарушением симметрии, переходы между различными плато квантового Холла соответствуют изменениям топологических чисел, при этом не связаны с локальными порядками.
Переходы между плато сопровождаются не исчезновением проводимости, а появлением нового набора краевых состояний с иным направлением тока. Эта особенность подчёркивает фундаментальную роль топологического порядка и глобальных свойств волновых функций.
Основные экспериментальные особенности квантового эффекта Холла:
Это делает КЭХ мощным инструментом для диагностики новых квантовых материалов.