Локальное поле

Локальное поле в твёрдом теле

Понятие локального поля

При рассмотрении взаимодействия внешнего электрического поля с диэлектриком или ионным кристаллом, важным оказывается не только макроскопическое поле, приложенное к образцу, но и поле, испытываемое каждой отдельной частицей (атомом, ионом, молекулой) внутри материала. Это поле, действующее непосредственно на диполь в данной точке кристалла, называют локальным (внутренним) полем. Оно отличается от макроскопического поля тем, что учитывает микроскопическую структуру среды и распределение зарядов в непосредственном окружении частицы.

Локальное поле Eлок играет ключевую роль при определении поляризации вещества и его диэлектрических свойств. Именно оно участвует в уравнении Лоренца и в расчётах с использованием микроскопической теории поляризации.

Разложение поля: макроскопическое и микроскопическое

В теории твёрдого тела различают:

  • Макроскопическое поле Eмакр — усреднённое по объёму, гораздо превышающему межатомные расстояния. Оно подчиняется уравнениям Максвелла и используется в классической электродинамике;
  • Микроскопическое поле Eмикро — полное поле в каждой точке пространства, включающее вклады всех зарядов;
  • Локальное поле Eлок — микроскопическое поле в точке расположения диполя с исключением собственного вклада этого диполя.

В рамках модели Лоренца локальное поле выражается как:

Eлок = Eмакр + Eвыт + Eближн + Eсам

где:

  • Eвыт — поле, создаваемое диполями вне условной сферической полости;
  • Eближн — поле от ближайших соседей;
  • Eсам — поле от собственного диполя, которое обычно исключается (самодействие).

Модель Лоренца: сферическая полость

Для расчёта локального поля Лоренц предложил классическую модель сферической полости. Рассматривается атом, помещённый в сферическую полость внутри диэлектрика. Общее локальное поле складывается из:

  1. Макроскопического поля Eмакр;

  2. Поля поляризованных диполей вне полости, которое при сферической симметрии даёт:

    $$ \mathbf{E}_{\text{выт}} = \frac{1}{3\varepsilon_0} \mathbf{P} $$

    где P — поляризация среды;

  3. Поля ближайших атомов, которое учитывается отдельно в кристаллических решётках (см. ниже).

Тогда:

$$ \mathbf{E}_{\text{лок}} = \mathbf{E}_{\text{макр}} + \frac{1}{3\varepsilon_0} \mathbf{P} $$

Это выражение получено для изотропных диэлектриков и справедливо при равномерной поляризации. Оно лежит в основе уравнения Клаузиуса — Моссотти.

Клаузиус — Моссотти и связь с поляризуемостью

Используя локальное поле, можно выразить макроскопические свойства среды через микроскопические параметры:

p = αEлок,   P = Np = NαEлок

где:

  • α — поляризуемость одного атома;
  • N — концентрация атомов.

Подставляя Eлок в выражение для P и используя связь P = ε0χeEмакр, получаем:

$$ \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \frac{N \alpha}{3\varepsilon_0} $$

Это и есть формула Клаузиуса — Моссотти, связывающая диэлектрическую проницаемость εr с атомной поляризуемостью.

Локальное поле в кристаллических решётках

В ионных и молекулярных кристаллах вклад ближайших соседей в локальное поле может быть значительным. В таких случаях необходимо учитывать:

  • Точное расположение ионов или молекул в решётке;
  • Симметрию и тип решётки (NaCl, CsCl, FCC, BCC и т.д.);
  • Электростатическое взаимодействие с конкретными зарядами в ближнем окружении.

Этот вклад называется вкладом ближнего порядка, он может быть как усиливающим, так и ослабляющим поле, в зависимости от структуры. Для некоторых решёток вычисляют коэффициент Лоренца, который корректирует выражение для Eлок.

Для регулярных кубических кристаллов можно выразить:

$$ \mathbf{E}_{\text{лок}} = \mathbf{E}_{\text{макр}} + \frac{1}{3\varepsilon_0} \mathbf{P} + \mathbf{E}_{\text{ближн}} $$

и тогда микроскопический расчёт требует суммирования по рядам взаимодействующих диполей или ионов.

Локальное поле и оптические свойства

Локальное поле особенно важно при рассмотрении высокочастотного отклика среды (например, при взаимодействии с светом в оптическом диапазоне). Поляризация и локальное поле изменяются с частотой, и возникают частотные зависимости поляризуемости α(ω) и диэлектрической проницаемости ε(ω).

Оптические переходы и резонансы чувствительны к локальному полю, особенно в сильно поляризуемых средах, например, в наноструктурах, плазмонах и квантовых точках. Здесь может возникать локальное усиление поля, что используется, например, в эффектах поверхностного плазмонного резонанса.

Особенности в проводниках и металлах

В металлах и проводниках ситуация принципиально отличается: здесь свободные носители экранируют внешнее поле, и локальное поле быстро убывает внутри. Расчёт локального поля требует учёта уравнений плазменного экранирования и решения уравнений Томаса — Ферми. В результате поле проникает на расстояние порядка длины экранирования, часто много меньше межатомного расстояния.

Локальное поле в полярных и ферроэлектрических кристаллах

В средах с выраженной спонтанной поляризацией, таких как ферроэлектрики, локальное поле также включает в себя вклад внутренней (спонтанной) поляризации, который может быть значительным и приводить к нелинейному поведению. Это требует решения уравнений, содержащих как внешнее, так и внутреннее поле, что отражает сложную зависимость поляризации от поля:

P = χEлок + Pспонт

Вблизи фазовых переходов (например, в точке Кюри) вклад локального поля усиливается, и его учет становится особенно важным при описании переходов порядка–беспорядка и возникновения доменной структуры.

Локальное поле и теория возбуждений

Локальное поле оказывает влияние и на квазичастицы — экситоны, поляритоны, фононы — поскольку оно меняет условия взаимодействия между электронами и ионными подрешётками. Например, в оптически активных кристаллах оно участвует в определении частот экситонных переходов и формы оптических спектров.

Квантовомеханические подходы

При более точных описаниях используют методы квантовой электродинамики в твёрдом теле, где локальное поле выражается через операторные величины и учитывает корреляции, обмен, антисимметризацию волновых функций. Особенно это важно в сильно коррелированных системах и при высоких плотностях носителей. Здесь может вводиться оператор локального поля, действующий на квантовые состояния системы и соответствующий обобщению классического понятия поля.

Итоговое замечание по формализму

Локальное поле — центральное понятие при переходе от макроскопической электродинамики к микроскопическому описанию твёрдого тела. Его роль особенно велика при моделировании новых материалов, включая метаматериалы, двумерные кристаллы (графен, дихалькогениды), топологические изоляторы и сверхрешётки, где пространственная неоднородность приводит к существенным отклонениям от классической теории поля.

Оглавление