Модель Дебая является квантовомеханическим обобщением классической теории теплоёмкости твёрдых тел, предложенной Эйнштейном. Её ключевым преимуществом является способность правильно описывать низкотемпературное поведение теплоёмкости, что не удаётся модели Эйнштейна. Основная идея заключается в рассмотрении кристаллической решётки как упругой среды, в которой возможны колебания с непрерывным спектром частот до некоторого максимального значения, называемого дебаевской частотой.
В модели Дебая предполагается, что число нормальных колебаний в кристалле ограничено и равно 3N, где N — число атомов в кристалле. Колебания моделируются как стоячие волны, распространяющиеся в упругой среде, и допускается, что фононный спектр приближённо непрерывен. Распределение частот этих колебаний вводится с помощью плотности состояний, и вклад каждой моды учитывается при вычислении теплоёмкости.
В модели Дебая предполагается линейная дисперсионная зависимость:
ω(k) = vsk
где ω — угловая частота, k — волновой вектор, vs — средняя скорость звука в твёрдом теле. Для трёхмерного кристалла с объёмом V, волновой вектор принимает значения в сфере радиуса kD, определяемого условием:
$$ \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{|\vec{k}| \leq k_D} d^3k = 3N $$
Решая это уравнение, получаем:
$$ k_D = \left( 6\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} $$
Максимальная частота ωD связана с максимальным волновым вектором через:
ωD = vskD
Таким образом, все фононные моды считаются равномерно распределёнными по сферам в k-пространстве до частоты ωD.
Плотность фононных состояний в модели Дебая определяется из соотношения:
$$ g(\omega) = \frac{V \omega^2}{2\pi^2 v_s^3}, \quad \text{при } \omega \leq \omega_D $$
и g(ω) = 0 при ω > ωD. Эта форма плотности состояний приводит к интегралам, которые можно аналитически исследовать в различных температурных режимах.
Средняя энергия одной фононной моды с частотой ω в квантовом случае определяется выражением:
$$ \langle E \rangle_\omega = \frac{\hbar \omega}{\exp(\hbar \omega / k_B T) - 1} $$
Тогда полная внутренняя энергия фононной системы:
$$ U = \int_0^{\omega_D} \langle E \rangle_\omega g(\omega) d\omega = \frac{V}{2\pi^2 v_s^3} \int_0^{\omega_D} \frac{\hbar \omega^3}{\exp(\hbar \omega / k_B T) - 1} d\omega $$
Вводится безразмерная переменная x = ℏω/kBT, после чего интеграл принимает форму:
$$ U = 9 N k_B T \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^3}{e^x - 1} dx $$
где ΘD = ℏωD/kB — дебаевская температура.
Из этого выражения легко получить теплоёмкость при постоянном объёме:
$$ C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V = 9 N k_B \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx $$
Это выражение описывает характерное поведение теплоёмкости при различных температурах.
При высоких температурах, T ≫ ΘD, предел интеграла стремится к бесконечности:
$$ \int_0^{\infty} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx = \frac{4\pi^4}{15} $$
Таким образом, теплоёмкость стремится к классическому пределу:
CV → 3NkB
что соответствует закону Дюлонга — Пти.
При низких температурах, T ≪ ΘD, можно использовать разложение:
$$ \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx \approx \frac{\pi^4}{15} $$
и теплоёмкость ведёт себя как:
$$ C_V \approx \frac{12 \pi^4}{5} N k_B \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 $$
Таким образом, наблюдается кубический закон Дебая: CV ∼ T3 — фундаментальный результат, согласующийся с экспериментом при низких температурах.
В модели Дебая учитываются только акустические фононы, поскольку именно они определяют поведение решётки при низких температурах. Оптические моды не включаются в модель из-за их высокой частоты и малого вклада в теплоёмкость при T ≪ ΘD. Основной вклад в теплоёмкость в этом режиме дают длинноволновые возбуждения.
Скорость звука vs, входящая в выражения для ωD и ΘD, определяется из упругих модулей вещества:
$$ v_s^{-3} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{v_t^3} + \frac{1}{v_l^3} \right) $$
где vt и vl — скорости поперечных и продольных звуковых волн. Таким образом, дебаевская температура зависит от микроскопических свойств решётки.
Модель Эйнштейна предполагает, что все атомы колеблются с одной и той же частотой ωE, в то время как в модели Дебая учитывается непрерывный спектр колебаний. Это приводит к различному поведению теплоёмкости при низких температурах: в модели Эйнштейна она экспоненциально стремится к нулю, а в модели Дебая — кубически, что согласуется с экспериментальными данными.
Кроме того, модель Дебая корректно учитывает количество степеней свободы (3 на атом) и удовлетворяет квантовой статистике на всех температурных диапазонах, в отличие от классической теории.
Модель Дебая успешно объясняет температурную зависимость теплоёмкости большинства диэлектриков и слабо связанных металлов. Однако она основана на ряде упрощающих допущений:
Для более точного описания свойств реальных кристаллов, особенно при высоких температурах или в сложных многокомпонентных системах, модель Дебая требует модификации или дополнения, например, путём введения полной фононной плотности состояний из эксперимента или вычислений ab initio. Тем не менее, как приближение первого порядка, она остаётся фундаментальной в теории твёрдого тела.