Модель Эйнштейна

Модель Эйнштейна в теории теплоёмкости твёрдого тела

Модель Эйнштейна является первой попыткой квантовомеханического описания теплоёмкости твёрдых тел. Она основывается на ряде упрощающих предположений:

Каждый атом в кристалле рассматривается как независимый квантовый гармонический осциллятор.
Все осцилляторы колеблются с одной и той же частотой — так называемой частотой Эйнштейна ω_E.
Взаимодействие между осцилляторами игнорируется, что исключает коллективные возбуждения, такие как фононы.

Эти предположения, хотя и ограничивают точность модели, позволяют получить аналитически выражение для теплоёмкости, учитывающее квантовую природу колебаний и её температурную зависимость.

Квантование энергии осциллятора

Каждый одномерный гармонический осциллятор обладает дискретным спектром уровней энергии:

$$ \varepsilon_n = \hbar \omega_E \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$

Где ℏ — приведённая постоянная Планка, ω_E — частота колебаний (одна и та же для всех осцилляторов). Термодинамические свойства системы определяются статистическим распределением по этим энергетическим уровням согласно распределению Больцмана.

Средняя энергия одного осциллятора

Средняя энергия осциллятора в тепловом равновесии вычисляется по формуле:

$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{\sum\limits_{n=0}^\infty \varepsilon_n e^{-\beta \varepsilon_n}}{\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\beta \varepsilon_n}} = \frac{\hbar \omega_E}{2} + \frac{\hbar \omega_E}{e^{\beta \hbar \omega_E} - 1} $$

Где $\beta = \frac{1}{k_B T}$, k_B — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура. Первая слагаемая ℏω_E/2 — это энергия нулевых колебаний, которая не зависит от температуры и не вносит вклад в теплоёмкость.

Таким образом, для теплоёмкости важна только температурно-зависимая часть:

$$ \langle \varepsilon_T \rangle = \frac{\hbar \omega_E}{e^{\beta \hbar \omega_E} - 1} $$

Внутренняя энергия и теплоёмкость кристалла

Пусть в кристалле N атомов, каждый из которых имеет три степени свободы (движение вдоль трёх пространственных осей). В рамках модели Эйнштейна каждый атом заменяется на три независимых одномерных осциллятора. Тогда общее число осцилляторов:

N_осц = 3N

Полная энергия кристалла:

$$ U = 3N \cdot \langle \varepsilon_T \rangle = 3N \cdot \frac{\hbar \omega_E}{e^{\beta \hbar \omega_E} - 1} $$

Из этого следует выражение для теплоёмкости при постоянном объёме:

$$ C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V = 3N k_B \left( \frac{\hbar \omega_E}{k_B T} \right)^2 \frac{e^{\hbar \omega_E / k_B T}}{\left( e^{\hbar \omega_E / k_B T} - 1 \right)^2} $$

Это выражение описывает поведение теплоёмкости в широком диапазоне температур.

Температурные пределы

Высокие температуры $T \gg \frac{\hbar \omega_E}{k_B}$

При высоких температурах:

$$ e^{\hbar \omega_E / k_B T} \approx 1 + \frac{\hbar \omega_E}{k_B T} $$

Подставляя в формулу для теплоёмкости, получаем:

C_V → 3Nk_B

Это соответствует классическому закону Дюлонга и Пти — теплоёмкость кристалла приближается к постоянному значению, зависящему только от числа атомов.

Низкие температуры $T \ll \frac{\hbar \omega_E}{k_B}$

В этом случае:

$$ e^{\hbar \omega_E / k_B T} \gg 1, \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{e^{\hbar \omega_E / k_B T} - 1} \approx e^{-\hbar \omega_E / k_B T} $$

Тогда теплоёмкость экспоненциально стремится к нулю:

$$ C_V \sim 3N k_B \left( \frac{\hbar \omega_E}{k_B T} \right)^2 e^{-\hbar \omega_E / k_B T} $$

Это важный результат: модель Эйнштейна предсказывает правильное стремление теплоёмкости к нулю при T → 0, в соответствии с третьим началом термодинамики. Однако она не воспроизводит кубическую зависимость C_V ∝ T³ при низких температурах, которая наблюдается экспериментально.

Введение температуры Эйнштейна

Для упрощения выражений часто вводится так называемая температура Эйнштейна:

$$ \Theta_E = \frac{\hbar \omega_E}{k_B} $$

Тогда выражение для теплоёмкости становится:

$$ C_V = 3N k_B \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 \frac{e^{\Theta_E / T}}{(e^{\Theta_E / T} - 1)^2} $$

Пределы:

При T ≫ Θ_E: C_V ≈ 3Nk_B
При T ≪ Θ_E: C_V ∼ T⁻²e^−Θ_E/T

Достоинства и ограничения модели Эйнштейна

Преимущества:

Простота и аналитичность модели.
Первое квантовое объяснение спада теплоёмкости при понижении температуры.
Хорошее согласие с экспериментом для температур, сравнимых с Θ_E.

Недостатки:

Предположение об одинаковых частотах для всех осцилляторов физически нереалистично.
Отсутствие учёта коллективных колебаний (фононов) и спектра частот.
Невозможность описания поведения C_V ∼ T³ при T ≪ Θ_E.

Историческое значение

Модель Эйнштейна сыграла ключевую роль в развитии физики твёрдого тела. Она показала, что классическая термодинамика неспособна объяснить свойства твёрдых тел при низких температурах, и что учёт квантования энергии колебаний атомов — необходимый элемент физической картины. Она также послужила основой для более точной модели Дебая, учитывающей распределение частот фононов и их спектральные свойства.