Плазмоны

Коллективные колебания электронного газа: плазмоны

Основные положения теории плазмонов

Плазмоны — это коллективные возбуждения электронного газа в твёрдом теле, возникающие в результате согласованных колебаний плотности носителей заряда относительно положительного фонового заряда. В отличие от одиночных электронных возбуждений, плазмоны представляют собой квазичастицы, описывающие коллективное движение многих электронов.

Классически можно рассмотреть систему свободных электронов в металле, распределённых на фоне неподвижной положительной решётки (модель Томаса-Ферми или модель Джеллиума). Если электронную плотность слегка возмущать (например, смещением электронной подрешётки), то система стремится восстановить равновесие за счёт кулоновского взаимодействия, приводящего к плазменным колебаниям.

Плазменная частота

В простейшей модели плазменной колебательной моды, рассматриваемой в рамках модели свободных электронов, частота колебаний не зависит от длины волны (в длинноволновом пределе) и выражается как:

$$ \omega_p = \sqrt{\frac{4\pi n e^2}{m}} $$

где n — концентрация свободных электронов, e — заряд электрона, m — масса электрона, ωp — плазменная частота.

Эта частота определяет характерный энергетический масштаб плазмонов и играет ключевую роль в оптических свойствах металлов. При ω < ωp металл отражает электромагнитные волны, а при ω > ωp — становится прозрачным.

Квантовомеханическое описание и дисперсия плазмонов

При учёте пространственной зависимости и квантовых эффектов, особенно в рамках линейного отклика и диэлектрической функции ε(q, ω), плазмоны определяются как полюса в спектре отклика, удовлетворяющие уравнению:

ε(q, ω) = 0

Для трёхмерного электронного газа в рамках аппроксимации случайных фаз (RPA) диэлектрическая функция имеет вид:

$$ \varepsilon(\mathbf{q}, \omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \left( 1 + f(q, \omega) \right) $$

где функция f(q, ω) зависит от волнового числа и частоты, и учитывает кинетические и обменные эффекты.

В приближении малых q дисперсия плазмонов трёхмерного газа имеет вид:

$$ \omega(q) \approx \omega_p + \frac{3}{10} \frac{q^2 v_F^2}{\omega_p} + \ldots $$

где vF — скорость Ферми.

Таким образом, в трёхмерной системе плазмоны обладают оптической дисперсией: при q → 0 частота остаётся конечной, в отличие от звуковых мод.

Плазмоны в двумерных и одномерных системах

В низкоразмерных структурах поведение плазмонов радикально отличается:

  • В двумерном электронном газе (например, в гетероструктурах или графене) дисперсия плазмонов принимает форму:

$$ \omega(q) \propto \sqrt{q} $$

Это означает, что в длинноволновом пределе частота плазмонов стремится к нулю.

  • В одномерных системах, таких как квантовые провода или нанотрубки, плазмоны представляют собой сильно взаимодействующие возбуждения с линейной дисперсией:

ω(q) ∝ q

Здесь роль плазмонов сближается с возбуждениями в теории Латтинжера.

Затухание плазмонов: ландовское и радиационное

Плазменные возбуждения, как и любые квазичастицы, обладают конечным временем жизни. Существуют два основных механизма затухания:

  1. Ландовское затухание (Landau damping) — возникает, когда энергия плазмона может быть передана одиночным электронным возбуждениям (электрон-дырочным парам). Условие такого затухания:

ω < vFq

  1. Радиационное затухание — в случае, когда плазмоны могут испускать электромагнитные волны, что особенно важно для поверхностных плазмонов в металлах на границе с диэлектриком.

Поверхностные плазмоны

В граничных условиях (например, на поверхности металла) возможны поверхностные плазмоны — возбуждения, локализованные на границе металл–диэлектрик. Они подчиняются уравнению:

ε(ω) + εd = 0

где εd — диэлектрическая проницаемость внешней среды.

Поверхностные плазмоны особенно важны в оптике, поскольку они взаимодействуют с фотонами, формируя поверхностные плазмон-поляритоны (СПП), способные распространяться вдоль поверхности с высокой локализацией электромагнитного поля.

Плазмоны и диэлектрическая функция

Ключевую роль в теории плазмонов играет поведение диэлектрической функции ε(q, ω). Она связывает внешнее и внутреннее электрическое поле в материале:

$$ \mathbf{E}_{\text{внутр}} = \frac{\mathbf{E}_{\text{внеш}}}{\varepsilon(\mathbf{q}, \omega)} $$

Нули ε(q, ω) соответствуют собственным модам, не возбуждаемым внешним полем, но существующим в виде автоколебаний системы — это и есть плазмоны.

Плазмоны в реальных материалах: влияние зонной структуры

В реальных кристаллах свободная электронная модель неадекватна. Учет зонной структуры приводит к изменению как дисперсии, так и времени жизни плазмонов. В частности:

  • Плазменная частота зависит от эффективной массы электронов в зоне проводимости.
  • Существуют межзонные плазмоны, возникающие за счёт коллективных переходов между энергетическими зонами.
  • Дисперсия и затухание могут иметь сложную зависимость от симметрии зоны и кристаллической решётки.

Плазмоны в наноструктурах

В наночастицах и нанопроволоках проявляются локализованные плазмоны — это резонансные колебания заряда, обусловленные ограниченной геометрией. Такие моды зависят от формы, размера и диэлектрической среды:

  • В сферических наночастицах — дипольная мода плазмона, с резонансной частотой, определяемой:

$$ \omega_{\text{res}} = \omega_p \left( \frac{1}{1 + 2\varepsilon_d} \right)^{1/2} $$

  • В вытянутых структурах возможны более высокие мультипольные моды.

Эти эффекты легли в основу плазмонной оптики и спектроскопии, включая усиление флуоресценции и поверхностно-усиленное рамановское рассеяние (SERS).

Связь с экспериментом

Плазмоны обнаруживаются и изучаются с помощью:

  • Энергетической потерь электронов (EELS) — метод, чувствительный к коллективным возбуждениям.
  • Оптических спектроскопий — отражательная и пропускная способность указывают на частоты плазменных резонансов.
  • Рентгеновских спектроскопий потерь энергии — в том числе при исследовании тонкой структуры электронной плотности состояний.

Энергия типичных плазменных мод в металлах — 10–30 эВ (глубокая УФ-область), однако в наноструктурах она может быть существенно ниже и попадать в видимую или инфракрасную область спектра.

Современные направления и применения

Исследование плазмонов находит многочисленные применения:

  • Плазмонные волноводы — направляют свет на наноразмерах.
  • Метаповерхности — создаются для управления фазой и амплитудой света.
  • Плазмонные сенсоры — чувствительны к изменениям в окружающей среде.
  • Плазмонные усилители и лазеры (spasers) — используются для генерации света на субволновых масштабах.

Особый интерес вызывают плазмоны в графене и других двумерных материалах, обладающие высоконастраиваемыми характеристиками за счёт легирования и внешнего поля.

Ключевые понятия и формулы:

  • Плазменная частота: $\omega_p = \sqrt{\dfrac{4\pi n e^2}{m}}$

  • Условие плазмонного резонанса: ε(q, ω) = 0

  • Дисперсия 3D-плазмонов: $\omega(q) \approx \omega_p + \dfrac{3}{10} \dfrac{q^2 v_F^2}{\omega_p}$

  • Поверхностный плазмон: ε(ω) + εd = 0

  • Дисперсия 2D-плазмонов: $\omega(q) \propto \sqrt{q}$

  • Ландовское затухание: ω < vFq

Плазмоны являются фундаментальной составляющей коллективных возбуждений в твёрдом теле и играют важнейшую роль в современной физике и нанофотонике.

Оглавление