Определение поверхности Ферми и её физический смысл
Поверхность Ферми — это поверхность в пространстве квазиимпульсов, отделяющая занятые и незанятые электронные состояния при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Её положение определяется энергетическим уровнем, называемым уровнем Ферми, EF, который соответствует наивысшему занятому уровню энергии в электронной системе при T = 0.
В модели почти свободных электронов поверхность Ферми представляет собой геометрическое место точек в первом зонном приближении, где энергия электрона E(k) равна EF. Форма поверхности Ферми зависит от кристаллической структуры материала и характера взаимодействия электронов с периодическим потенциалом кристаллической решётки.
Материалы с различными типами поверхности Ферми
Простые металлы. В таких материалах, как натрий или алюминий, поверхность Ферми близка к сфере. Это объясняется тем, что их проводящие электроны можно рассматривать как почти свободные. В трёхмерном случае при отсутствии кристаллического потенциала поверхность Ферми представляет собой сферу радиуса kF, где
kF = (3π2n)1/3,
а n — концентрация электронов.
Переходные металлы. В переходных металлах (например, железе, никеле) поверхность Ферми существенно отличается от сферической из-за сильной модуляции энергии зоны вблизи границ зоны Бриллюэна. Здесь важную роль играет гибридизация s- и d-зон, что приводит к сложной топологии поверхности Ферми, включающей карманы (pockets), цилиндры и открытые поверхности.
Полупроводники и изоляторы. В идеальных полупроводниках при T = 0 уровень Ферми лежит в запрещённой зоне, и, следовательно, поверхность Ферми отсутствует. Однако при наличии легирования или при конечных температурах могут возникать малые карманы электронов или дырок, соответствующие поверхностям Ферми малой площади.
Математическое описание
Для системы с дисперсионным законом E(k), поверхность Ферми определяется уравнением:
E(k) = EF.
В простейшем случае изотропной параболической зоны:
$$ E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}, $$
что приводит к сферической поверхности Ферми. Однако в анизотропных или периодических системах E(k) может иметь сложную зависимость от k, и, следовательно, поверхность Ферми принимает нетривиальную форму, отражающую симметрию кристаллической решётки.
Роль симметрии и зонной структуры
Периодичность кристалла и симметрия зоны Бриллюэна строго ограничивают возможные формы поверхности Ферми. Например, в кубических кристаллах возможно появление плоских участков поверхности Ферми, ориентированных перпендикулярно кристаллографическим направлениям. Эти участки могут вызывать феномены, связанные с нестабильностями электронной структуры, например, нестабильности Пайерлса или волны плотности заряда.
В более общем случае поверхность Ферми рассматривается в расширенной зоне, где её форма может быть получена путём сопоставления дисперсионной зависимости в разных зонах. Пересечение поверхности Ферми с границами зоны может приводить к возникновению зонных зазоров, формированию дырочных или электронных карманов.
Плотность состояний и топология поверхности Ферми
Поведение электронной плотности состояний вблизи EF тесно связано с геометрией поверхности Ферми. Чем больше площадь этой поверхности в пространстве квазиимпульсов, тем выше плотность состояний на уровне Ферми:
$$ N(E_F) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{E(\mathbf{k}) = E_F} \frac{dS}{|\nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k})|}. $$
Интеграл берётся по поверхности Ферми. Он показывает, что области с малой градиентной скоростью (медленно изменяющейся E(k)) вносят больший вклад в N(EF), что важно, например, для теплоёмкости и магнитных свойств.
Экспериментальные методы изучения поверхности Ферми
Фотоэлектронная спектроскопия. Углоразрешённая фотоэмиссионная спектроскопия (ARPES) позволяет напрямую измерить энергию и импульс фотоэлектронов, тем самым восстанавливая форму поверхности Ферми. Это особенно эффективно для двухмерных материалов или поверхностей трёхмерных кристаллов.
Эффект де Гааза — Шубникова. Измерение магнитной восприимчивости или сопротивления при изменяющемся магнитном поле позволяет определить площадь сечений поверхности Ферми, перпендикулярных полю. Частота колебаний физической величины зависит от площади орбиты электронов:
$$ F = \frac{\hbar}{2\pi e} A, $$
где A — площадь сечения поверхности Ферми.
Эффект Холла и магнитосопротивление. Эти методы косвенно дают информацию о характере носителей заряда (электроны или дырки), об их плотности и об анизотропии поверхности Ферми. Например, знак эффекта Холла указывает на преобладание тех или иных носителей, а величина — на кривизну поверхности Ферми в определённых направлениях.
Физические следствия геометрии поверхности Ферми
Электропроводность. Направленная подвижность электронов определяется формой поверхности Ферми. В изотропных металлах поведение близко к классическому, в анизотропных — сильно различается в зависимости от направления тока. Это приводит к направленной (тензорной) проводимости.
Сверхпроводимость. Спаривание электронов в сверхпроводниках (куперовских пар) происходит преимущественно вблизи поверхности Ферми. Следовательно, топология и размер поверхности Ферми влияют на свойства сверхпроводящего состояния и на симметрию сверхпроводящего зазора.
Ферми-возмущения и коллективные возбуждения. Поверхность Ферми — это граница между занятой и незанятой частями в пространстве состояний, поэтому даже малые возмущения могут возбуждать коллективные моды: плазмоны, спиновые волны и другие. Возбуждение электронов около поверхности Ферми приводит к линейной температурной зависимости теплоёмкости и другим эффектам, типичным для ферми-жидкости.
Нестабильности Ферми-поверхности. При определённых условиях (например, наличии гнёзд на поверхности Ферми) могут возникать волны плотности заряда или спина. Эти коллективные состояния — следствие «нестабильной» поверхности Ферми, где возможно перекрытие различных участков при трансляции на некоторый вектор Q, приводящее к усилению отклика системы на соответствующее возмущение.
Поверхность Ферми в низкоразмерных системах
Двумерные материалы. В слоях, таких как графен, поверхность Ферми вырождается в линию Ферми. В графене, например, EF находится в точке Дирака, и характер поведения электронов определяется линейной дисперсией. Поведение таких систем радикально отличается от трёхмерных: плотность состояний на уровне Ферми может обращаться в нуль, что приводит к нетривиальной температурной зависимости и аномальным эффектам.
Наноструктуры. В квантовых точках и проволоках квантуется движение носителей, и вместо поверхности Ферми появляются дискретные уровни. Это резко меняет транспортные свойства, приводит к квантовой блокаде, осцилляциям проводимости и другим квантовым эффектам.
Топологические свойства и новейшие концепции
В современных теориях твёрдого тела важным направлением является изучение топологических особенностей поверхности Ферми. Например, в вейлевских и дираковских полуметаллах поверхность Ферми может представлять собой точки или дуги, связанные с существованием узловых точек в спектре и топологической зарядой. Это приводит к новым квантовым эффектам: аномальному эффекту Холла, отрицательному магнитосопротивлению и поверхностным состояниям (Fermi arcs), не имеющим аналогов в традиционных металлах.
Таким образом, поверхность Ферми — центральное понятие в физике твёрдого тела, связывающее электронную структуру кристаллов с их макроскопическими свойствами. Её изучение даёт ключ к пониманию электропроводности, теплопереноса, магнетизма и множества других явлений в конденсированной среде.