Классификация и свойства пространственных групп в кристаллографии твёрдого тела
Пространственные группы описывают полную симметрию идеального бесконечного кристаллического строения, объединяя как трансляционные, так и нетрансляционные симметрии (отражения, вращения, инверсии, винтовые оси и плоскости скольжения). Эти группы представляют собой расширение понятий симметрии, введённых при рассмотрении точечных групп и трансляционных симметрий.
В отличие от точечных групп, которые действуют на ориентации, не изменяя положения узлов решётки, пространственные группы учитывают и трансляционные компоненты, тем самым описывая реальную структуру твёрдого тела в пространстве.
Элементарная (примитивная) ячейка — минимальный параллелепипед, трансляцией которого можно заполнить всё пространство без пробелов и перекрытий. Все атомы внутри кристаллической решётки расположены периодически, с точностью до вектора трансляции:
T⃗ = n1a⃗1 + n2a⃗2 + n3a⃗3
где a⃗1, a⃗2, a⃗3 — базисные векторы решётки, а ni ∈ ℤ.
Любой симметричный оператор S пространственной группы может быть представлен в виде пары {R|t⃗}, где R — ортогональное преобразование (вращение, отражение, инверсия и т.п.), а t⃗ — вектор трансляции (может быть нулевым или дробным относительно векторов решётки).
Присутствуют как в точечных, так и в пространственных группах. Обозначаются символами 2, 3, 4, 6 (возможные порядки вращения, совместимые с трансляционной симметрией в трёхмерном пространстве).
Точка, относительно которой любая точка структуры отображается на противоположную. Элемент симметрии обозначается как $\bar{1}$ или i.
Плоскости, относительно которых структура симметрична. Обозначаются как m.
Сочетание вращения вокруг оси и последующей трансляции вдоль той же оси на дробную часть элементарной трансляции. Обозначаются как nm, где n — порядок оси, m — часть трансляции. Например, 21 — ось второго порядка с трансляцией на половину вектора.
Отражение в плоскости с последующим параллельным смещением на дробную часть элементарного вектора. Обозначаются как a, b, c, n, d, в зависимости от направления и величины смещения.
Пространственная группа G является группой изометрий Евклидова пространства, сохраняющей кристаллическую структуру. Она включает в себя:
То есть:
G ≅ T ⋊ P
где P — точечная группа симметрии.
Полная классификация пространственных групп, с учётом всех возможных сочетаний трансляций и симметрий, даёт 230 пространственных групп в трёхмерном пространстве. Это число основано на совместимости между точечными группами и трансляционными симметриями в 14 типах браavais-решёток.
Пространственные группы обозначаются по международной нотации Гёрмера (Герман–Могенау) — например: P2₁/c, Fm={3}m, P6₃/mmc.
Первая буква указывает тип решётки (P — примитивная, F — гранецентрированная, I — объемноцентрированная и др.).
Цифры и символы после неё описывают симметрии вдоль основных кристаллографических направлений, включая оси, плоскости отражения, винтовые оси и плоскости скольжения.
230 пространственных групп классифицируются в соответствии с 7 кристаллическими системами и 14 типами решёток Браве:
| Кристаллографическая система | Число групп | Примеры |
|---|---|---|
| Триклинная | 2 | P1, $\bar{1}$ |
| Моноклинная | 13 | P2, P2/m, C2/c |
| Орторомбическая | 59 | Pmmm, Fddd |
| Тетрагональная | 68 | P4, I4/mcm |
| Тригональная (ромбоэдрическая) | 25 | R3c, P3₁ |
| Гексагональная | 27 | P6₃/mmc |
| Кубическая | 36 | Pm={3}m, Fd={3}m |
Пространственные группы играют ключевую роль в определении физических свойств кристаллов, включая:
Симметрия определяет вырождение уровней, расположение запрещённых зон, точки высокой симметрии и возможные вырождения в спектре электронов. При расчётах зонной структуры (например, методами теории групп и теорией представлений) пространственная группа определяет возможные характеры волновых функций и правила отбора.
Для анализа электронных, фононных и других возбуждений в твёрдом теле используются представления пространственной группы. Эти представления определяют трансформационные свойства волновых функций при симметрийных преобразованиях.
Представления пространственной группы не всегда редуцируются к точечным представлениям из-за наличия трансляционной части. Используются координаты в пространстве обобщённого импульса k⃗, и каждому k⃗-вектору соответствует своя группа симметрии — так называемая группа малого k⃗.
В фазовых переходах кристаллов (например, при снижении температуры или при структурных переходах) пространственная группа может уменьшаться — происходят переходы от группы более высокой симметрии к её подгруппе. Это позволяет описывать фазовые переходы второго рода в терминах группового анализа и понять механизм спонтанного нарушения симметрии.
В экспериментах (например, в рентгеноструктурном анализе) определение пространственной группы — обязательный этап при расшифровке структуры твёрдого тела. Практически все известные минералы, металлы, полупроводники и молекулярные кристаллы описываются одной из 230 пространственных групп.
Симметрия определяет не только геометрию расположения атомов, но и то, какие физические эффекты возможны: например, центросимметричные кристаллы не проявляют пьезоэлектричества, а кристаллы с осью второго порядка не обладают хиральностью.
Полная теория пространственных групп требует применения математических аппаратов группы Галуа, теории представлений, алгебраической топологии и симметрий в многомерных пространствах. Однако даже в рамках трёхмерной кристаллографии пространственные группы предоставляют исчерпывающий и фундаментальный язык описания строения твёрдого тела.