Распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака

Статистическая природа фермионов

В твёрдом теле электроны подчиняются квантово-статистическим законам, отличным от классической статистики Максвелла – Больцмана. Основная причина заключается в квантовой природе электронов, которые являются фермионами — частицами с полуцелым спином (в данном случае, спин ½). Согласно принципу запрета Паули, ни два электрона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии. Это приводит к необходимости использовать статистику Ферми – Дирака для описания распределения электронов по энергетическим уровням при конечной температуре.

Формула распределения

Функция распределения Ферми – Дирака определяет вероятность того, что энергетическое состояние с энергией E занято частицей (электроном):

$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/k_B T} + 1} $$

где: — f(E) — вероятность заполнения уровня с энергией E, — μ — химический потенциал, при T = 0 совпадает с уровнем Ферми E_F, — k_B — постоянная Больцмана, — T — абсолютная температура.

Эта функция плавно изменяется от 1 до 0 в окрестности уровня μ, при этом крутизна спада определяется температурой. При T = 0 функция превращается в ступенчатую:

$$ f(E) = \begin{cases} 1, & E < E_F \\ 0, & E > E_F \end{cases} $$

Это означает, что при абсолютном нуле температуры все уровни с энергией ниже E_F заняты, а выше — пусты.

Поведение при конечной температуре

При T > 0 распределение становится размытым: некоторые электроны возбуждаются в более высокие уровни, оставляя ниже себя пустые состояния. Тем не менее, даже при комнатной температуре размытость относительно мала, так как характерная энергия теплового возбуждения k_BT (~25 мэВ при T = 300 K) существенно меньше ширины энергетической зоны проводимости в металлах (~эВ).

Химический потенциал и уровень Ферми

При нулевой температуре химический потенциал μ совпадает с уровнем Ферми E_F, который определяется числом частиц в системе. При T > 0 значение μ может немного изменяться, но остаётся близким к E_F, особенно если температура мала по сравнению с E_F/k_B.

Для электронного газа в металле уровень Ферми может быть оценён по формуле:

$$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$

где n — концентрация электронов, ℏ — приведённая постоянная Планка, m — масса электрона.

Плотность состояний и статистические суммы

Распределение Ферми – Дирака само по себе не даёт полной информации о термодинамических величинах. Важно учитывать также плотность состояний D(E), определяющую, сколько квантовых уровней доступно на единичный интервал энергии. В трёхмерном свободном электронном газе:

$$ D(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E} $$

Для вычисления числа частиц N при данной температуре интегрируют:

N = ∫₀^∞D(E)f(E) dE

Аналогично, полная энергия системы:

U = ∫₀^∞E D(E)f(E) dE

И другие величины, такие как теплоёмкость, также выражаются через эти интегралы.

Приближение низких температур: разложение по температуре

При малых температурах (T ≪ T_F, где T_F = E_F/k_B) используется разложение Соммерфельда. Оно позволяет вычислить термодинамические характеристики с высокой точностью:

$$ U(T) = U(0) + \frac{\pi^2}{6} D(E_F) (k_B T)^2 + \cdots $$

Отсюда следует, что электронный вклад в теплоёмкость:

$$ C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V = \gamma T $$

где γ — коэффициент Соммерфельда, линейно зависящий от D(E_F).

Функция распределения и свойства металлов

Поведение функции f(E) критично для объяснения свойств металлов. В частности:

• Только электроны с энергиями вблизи E_F могут быть термически возбуждены, следовательно, только они участвуют в теплоёмкости и теплопроводности.
• Электрическая проводимость в рамках модели свободных электронов также определяется электронными состояниями у уровня Ферми, так как заполненные и пустые уровни далеко от E_F не могут участвовать в переносе заряда.

Контраст с классической статистикой

В классической (болцмановской) статистике вероятность заполнения уровня убывает экспоненциально:

f_MB(E) = Ae^−E/k_BT

В отличие от неё, функция Ферми – Дирака учитывает заполненность уровней и принцип Паули, что делает её адекватной для описания электронного газа в твёрдом теле при низких температурах и высокой концентрации.

Обобщения и применимость

Распределение Ферми – Дирака применимо ко всем фермионным системам, включая электроны в металлах, полупроводниках, вырожденный электронный газ в астрофизических объектах (например, в белых карликах), нейтроны в нейтронных звёздах и т. д.

Однако в системах с взаимодействием между частицами (например, коррелированными электронами в сильноперемежающихся материалах) чистая форма распределения может модифицироваться. Тем не менее, она остаётся отправной точкой при построении квантово-статистических моделей твёрдого тела.