Понятие размерного квантования
Размерное квантование возникает при пространственном ограничении движения квазичастиц (электронов, дырок, экситонов и др.) в одном, двух или трёх измерениях на масштабах, сравнимых с длиной их волны де Бройля. В условиях, когда характерный размер системы становится соизмерим с квантовыми длинами (λ ≳ L), классическое описание движения частиц теряет применимость, и энергетические уровни становятся дискретными. Это приводит к фундаментальным изменениям в спектре состояний, плотности состояний и других физических свойствах системы.
Размерное квантование лежит в основе физики низкоразмерных систем: квантовых ям, квантовых нитей и квантовых точек, а также наноструктур, где движение носителей заряда ограничено соответственно в одном, двух и трёх измерениях.
Квантовая яма: одномерное ограничение
В случае квантовой ямы движение носителя ограничено вдоль одного направления (например, по оси z), в то время как в двух других направлениях (например, x и y) носитель может двигаться свободно. Это приводит к следующему разложению гамильтониана:
$$ \hat{H} = \hat{H}_\parallel + \hat{H}_\perp = \frac{\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2}{2m^*} + \left[ \frac{\hat{p}_z^2}{2m^*} + V(z) \right] $$
Здесь m* — эффективная масса электрона в полупроводнике, V(z) — потенциальный профиль ямы. Решение уравнения Шрёдингера по z-направлению приводит к квантованию энергии:
$$ E_n^\perp = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2m^* L^2}, \quad n = 1, 2, 3, ... $$
Полная энергия электрона в яме:
$$ E_{n, \mathbf{k}} = E_n^\perp + \frac{\hbar^2 k_x^2}{2m^*} + \frac{\hbar^2 k_y^2}{2m^*} $$
Плотность состояний (ПС) в такой системе становится ступенчатой: каждый подуровень n вносит вклад в ПС начиная с пороговой энергии En⟂. Это проявляется в виде резких особенностей в спектрах оптического поглощения и других характеристиках.
Квантовая нить: двумерное ограничение
Если движение ограничено вдоль двух направлений (например, x и y), остаётся только одно направление для свободного движения — вдоль оси z. Такая система называется квантовой нитью (или квантовой проволокой).
Энергетические уровни при решении двумерного потенциала поперечного сечения принимают вид:
Enx, ny⟂ = Enx + Eny, nx, ny = 1, 2, ...
Полная энергия квазичастицы:
$$ E_{n_x, n_y, k_z} = E_{n_x, n_y}^\perp + \frac{\hbar^2 k_z^2}{2m^*} $$
Плотность состояний при этом носит характер, характерный для одномерной системы:
$$ g(E) \propto \frac{1}{\sqrt{E - E_{n_x, n_y}^\perp}} $$
Такое поведение ПС приводит к выраженным особенностям в электронном транспорте и спектроскопии, например, к наблюдению пиков Ван Хова.
Квантовая точка: трёхмерное ограничение
В квантовой точке носитель заряда локализован во всех трёх пространственных направлениях. Это аналог искусственного атома, обладающего дискретным, атомоподобным спектром энергетических уровней. Гамильтониан в сферически симметричном потенциале принимает вид:
$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m^*} + V(r) $$
При аппроксимации потенциала как трёхмерного потенциального ящика или гармонического осциллятора решение уравнения Шрёдингера даёт дискретный спектр:
$$ E_{n,l} \propto \left( n + \frac{l}{2} \right)\hbar \omega $$
Плотность состояний состоит из набора δ-функций, соответствующих дискретным уровням энергии. Это радикально отличает поведение системы от объемных аналогов.
Физические последствия размерного квантования
Изменение плотности состояний В зависимости от размерности плотность состояний g(E) меняется следующим образом:
Это влияет на электронную теплопроводность, термоэлектрические свойства, оптические переходы.
Квантовые размеры и сдвиг уровней С уменьшением размеров системы энергетические уровни смещаются вверх, увеличивается энергетический зазор. Этот сдвиг ΔE может быть оценён по приближённой формуле:
$$ \Delta E \propto \frac{1}{L^2} $$
где L — характерный размер системы.
Эффекты туннелирования и когерентности В квантово-размерных системах существенно возрастает вероятность квантового туннелирования. Носители могут когерентно перемещаться между соседними элементами наноструктур (точками, нитями), что лежит в основе работы квантовых устройств (QCA, кубиты и т.д.).
Оптические и транспортные свойства Квантование уровней энергии приводит к появлению резонансных особенностей в спектрах фотолюминесценции, поглощения и проводимости. В тонких плёнках и наноструктурах возможно наблюдение квантовых осцилляций (например, эффект Ааронова-Бома, осцилляции Шубникова — де Гааза).
Примеры и реализации
Квантование в магнитном поле
Магнитное поле также приводит к размерному квантованию, но в пространстве импульсов. При наложении магнитного поля перпендикулярно плоскости двумерного электрона его кинетическая энергия квантуется в уровни Ландау:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad \omega_c = \frac{eB}{m^*} $$
Это ещё один тип размерного квантования, возникающий не из-за геометрического ограничения, а из-за динамики движения в поле. Он лежит в основе квантового эффекта Холла.
Размерное квантование и нанотехнологии
Современные технологии позволяют управлять размерами систем с атомной точностью, что даёт возможность точно проектировать спектр энергетических уровней. Это используется при создании:
Понимание размерного квантования становится необходимым элементом физики твёрдого тела при переходе от микро- к наноразмерным системам.