Статистика носителей заряда в твёрдом теле
В твёрдом теле носителями заряда являются электроны и дырки. Поведение этих квазичастиц подчиняется законам квантовой статистики. Поскольку электроны — фермионы со спином ½, они подчиняются статистике Ферми — Дирака, в основе которой лежит принцип запрета Паули: ни два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии одновременно.
Распределение Ферми — Дирака даёт вероятность заселения уровня энергии E при температуре T:
$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_B T}\right) + 1} $$
где:
Функция f(E) изменяется от 1 (низкие энергии) до 0 (высокие энергии) и характеризует вероятность занятости энергетического уровня.
Уровень Ферми EF — фундаментальная характеристика системы фермионов. При T = 0 все уровни с энергией E < EF заняты, а с E > EF — пусты. При конечной температуре происходит размывание границы заселения.
Положение уровня Ферми определяет равновесную концентрацию носителей заряда и критически важно для описания электрических свойств материала.
Для вычисления количества носителей необходимо учитывать не только распределение Ферми — Дирака, но и плотность состояний g(E), которая показывает, сколько доступных квантовых состояний приходится на единицу энергии. В трёхмерной системе она для зоны с параболической дисперсией выражается как:
$$ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} $$
где:
Тогда концентрация электронов в зоне проводимости:
n = ∫Ec∞g(E)f(E)dE
Аналогично, концентрация дырок в валентной зоне:
p = ∫−∞Evgv(E)[1 − f(E)]dE
где Ev — верх валентной зоны, gv(E) — плотность состояний валентной зоны.
В условиях, когда E − μ ≫ kBT, функция Ферми — Дирака может быть аппроксимирована экспонентой:
$$ f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - \mu}{k_B T}\right) $$
Это приближение справедливо для полупроводников при невыраженном вырождении (низкая концентрация носителей), где носители подчиняются максвелл-больцмановской статистике. В этом случае интегралы для концентраций можно аналитически выразить через эффективную плотность состояний:
$$ n = N_c \exp\left(-\frac{E_c - \mu}{k_B T}\right), \quad N_c = 2 \left( \frac{2\pi m_e^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2} $$
$$ p = N_v \exp\left(-\frac{\mu - E_v}{k_B T}\right), \quad N_v = 2 \left( \frac{2\pi m_h^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2} $$
В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны: n = p = ni. Произведение np при термодинамическом равновесии подчиняется закону действия масс:
$$ np = n_i^2 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{k_B T}\right) $$
где Eg = Ec − Ev — ширина запрещённой зоны.
Этот закон справедлив даже в присутствии примесей, если система находится в равновесии.
В n-типе полупроводника (донация электронов) уровень Ферми приближается к Ec, в то время как в p-типе (акцепторные примеси) — к Ev. Это смещение влияет на экспоненциальные зависимости концентраций:
Таким образом, положение уровня Ферми прямо связано с типом проводимости и уровнем легирования.
С ростом температуры поведение концентрации носителей делится на три режима:
Переход между этими режимами важен при проектировании электронных устройств.
При высоких концентрациях легирования, когда μ входит в зону проводимости или валентную зону, распределение становится вырожденным. Тогда:
Этот режим характерен, например, для полупроводников с высокой степенью легирования и полуметаллов.
Хотя статистика носителей рассматривается в равновесии, внешние поля могут нарушать равновесное распределение. В сильных магнитных полях возможна квантизация уровней энергии (уровни Ландау), что приводит к осцилляциям Шубникова — де Хааза в концентрации носителей. Электрические поля смещают уровни и вызывают движение носителей, что изучается в рамках транспортных теорий.
Часто используются следующие параметры:
Эти параметры позволяют строить точные модели проводимости и оптических свойств, определять поведение устройств (например, pn-переходов), и проектировать материалы с заданными характеристиками.