Теория БКШ

Основные постулаты и мотивация теории БКШ

Теория БКШ (Бардина—Купера—Шриффера), разработанная в 1957 году, объясняет природу сверхпроводимости в металлах при низких температурах. Центральным элементом теории является предположение о формировании связанных электронных пар — куперовских пар — вблизи поверхности Ферми, что приводит к формированию коллективного основного состояния с более низкой энергией, чем у нормального металла. Это состояние устойчиво к рассеянию на дефектах и тепловым возбуждениям, что приводит к исчезновению электрического сопротивления.

Физическая мотивация теории заключается в учёте эффективного притяжения между электронами с противоположными импульсами и спинами, возникающего вследствие взаимодействия с фононами. Такое притяжение преодолевает кулоновское отталкивание на определённых масштабах энергии и приводит к образованию связанных пар, которые подчиняются бозонной статистике и конденсируются в единое когерентное состояние.

Куперовские пары и энергетический спектр

Важнейшим элементом теории является модель Купера. Согласно ей, даже бесконечно малое притяжение между двумя электронами вблизи поверхности Ферми может привести к формированию связанного состояния. Куперовская пара состоит из двух электронов с противоположными импульсами и противоположными спинами:

k⃗↑, − k⃗ ↓ .

Энергия такой пары оказывается ниже, чем у двух отдельных электронов, что и приводит к устойчивости сверхпроводящего состояния. Связь между электронными парами обусловлена фононным обменом, и эффективное взаимодействие V между электронами действует только в узкой полосе шириной порядка энергии Дебая ℏω_D около уровня Ферми.

При этом возникает энергетический зазор Δ в спектре элементарных возбуждений. Состояния, находящиеся внутри зазора, недоступны для возбуждений, а при температуре ниже критической T_c, зазор не исчезает полностью, что объясняет исчезновение сопротивления и стабильность сверхпроводящего состояния.

Гамильтониан БКШ и диагонализация методом Боголюбова

Полный гамильтониан системы, учитывающий притяжение между электронами, имеет вид:

$$ \hat{H} = \sum_{\vec{k}, \sigma} \epsilon_{\vec{k}}\, c_{\vec{k},\sigma}^\dagger c_{\vec{k},\sigma} - \sum_{\vec{k}, \vec{k'}} V_{\vec{k}, \vec{k'}}\, c_{\vec{k},\uparrow}^\dagger c_{-\vec{k},\downarrow}^\dagger c_{-\vec{k'},\downarrow} c_{\vec{k'},\uparrow}. $$

Для решения этой задачи используется метод вариационного приближения с волновой функцией БКШ, которая задаётся как:

|Ψ_BCS⟩ = ∏_k⃗(u_k⃗ + v_k⃗ c_k⃗, ↑^†c_{−k⃗, ↓}^†)|0⟩,

где u_k⃗² + v_k⃗² = 1, а коэффициенты u_k⃗ и v_k⃗ определяются минимизацией полной энергии.

Для удобства анализа гамильтониан диагонализуется с помощью преобразования Боголюбова:

$$ \begin{aligned} \gamma_{\vec{k}, \uparrow} &= u_{\vec{k}} c_{\vec{k}, \uparrow} - v_{\vec{k}} c_{-\vec{k}, \downarrow}^\dagger, \\ \gamma_{-\vec{k}, \downarrow} &= u_{\vec{k}} c_{-\vec{k}, \downarrow} + v_{\vec{k}} c_{\vec{k}, \uparrow}^\dagger. \end{aligned} $$

Это приводит к диагональной форме гамильтониана:

Ĥ_diag = ∑_k⃗E_k⃗(γ_k⃗, ↑^†γ_k⃗, ↑ + γ_{−k⃗, ↓}^†γ_{−k⃗, ↓}) + const,

где энергия возбуждения $E_{\vec{k}} = \sqrt{\epsilon_{\vec{k}}^2 + \Delta^2}$, а Δ — энергетический зазор.

Уравнение самосогласованности и температурная зависимость

Энергетический зазор Δ удовлетворяет уравнению самосогласованности:

$$ 1 = V \sum_{\vec{k}} \frac{1 - 2 f(E_{\vec{k}})}{2 E_{\vec{k}}}, $$

где f(E) — распределение Ферми–Дирака, отражающее температурное заполнение уровней.

При температуре T = 0 это уравнение принимает вид:

$$ 1 = V \int_0^{\hbar \omega_D} \frac{N(\epsilon) d\epsilon}{\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}, $$

что позволяет получить значение энергетического зазора при нуле температур:

Δ(0) = 2ℏω_De^−1/N(0)V.

Температура исчезновения зазора определяется как критическая температура T_c, и её выражение:

k_BT_c = 1.14 ℏω_D e^−1/N(0)V.

Таким образом, теория БКШ даёт количественное объяснение как значения T_c, так и температурной зависимости энергетического зазора Δ(T), который стремится к нулю при T → T_c.

Сверхпроводимость как макроскопическое квантовое состояние

Важной особенностью состояния БКШ является его когерентная квантовая природа. Волновая функция куперовских пар охватывает макроскопические области порядка длины когерентности ξ ∼ ℏv_F/πΔ, что составляет сотни нанометров в типичных металлах. Все пары находятся в одном квантовом состоянии, что делает сверхпроводимость примером бозе-конденсации фермионных пар.

Именно за счёт когерентности пар и отсутствия рассеяния (электроны в парах не могут независимо рассеиваться на решётке или примесях) возникает нулевое сопротивление. Любая локальная флуктуация не разрушает связанное состояние, пока температура остаётся ниже T_c.

Магнитные свойства и эффект Мейснера в теории БКШ

Магнитные свойства сверхпроводника объясняются на основе поведения плотности сверхпроводящих электронов и векторного потенциала. Теория БКШ воспроизводит закон Лондонов и объясняет эффект Мейснера — вытеснение магнитного поля из объёма сверхпроводника. При включении магнитного поля токи, поддерживаемые куперовскими парами, компенсируют проникновение поля вглубь материала.

Глубина проникновения Лондона λ зависит от плотности сверхпроводящих носителей и массы:

$$ \lambda = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}}. $$

Теория БКШ демонстрирует, что при T → T_c, n_s → 0, и λ → ∞, что означает исчезновение сверхпроводимости.

Типы возбуждений и квазичастицы

Сверхпроводящее состояние обладает квазичастичными возбуждениями — суперпозициями электронных и дырочных состояний. Эти возбуждения, описываемые операторами Боголюбова γ^†, характеризуются спектром с энергетическим зазором Δ. Их природа принципиально отличается от электронов в нормальном металле: они не подвержены одиночному рассеянию и подчиняются нетривиальной статистике.

Обобщения и пределы применимости теории

Теория БКШ была разработана для объяснения сверхпроводимости в обычных (низкотемпературных) металлах. Однако она не полностью применима к высокотемпературным сверхпроводникам, где природа парообразования может отличаться (например, возможна анизотропия зазора, парообразование без участия фононов, или нестандартная симметрия волновой функции).

Тем не менее, основные принципы БКШ, такие как формирование пар и появление энергетического зазора, лежат в основе подавляющего большинства теорий, описывающих сверхпроводящее поведение различных систем.