Теория Ландау

Основы теории Ландау фазовых переходов

Ключевым понятием теории Ландау является параметр порядка — величина, характеризующая степень нарушения симметрии в системе при переходе из одной фазы в другую. В высокосимметричной фазе (обычно при высоких температурах) параметр порядка равен нулю, в низкосимметричной — отличен от нуля. Примеры параметров порядка: спонтанная намагниченность в ферромагнетике, спонтанная поляризация в сегнетоэлектрике, плотность сверхпроводящих электронов в сверхпроводнике.

Выбор параметра порядка зависит от природы фазового перехода. Важно, что этот параметр может быть как скалярным, так и векторным или тензорным, в зависимости от симметрии системы.

Разложение свободной энергии

Основной постулат Ландау: свободная энергия системы F может быть разложена в ряд по степеням параметра порядка η, предполагая, что он мал вблизи точки фазового перехода:

F(η, T) = F₀(T) + a(T)η² + bη⁴ + cη⁶ + …

где:

F₀(T) — свободная энергия симметричной фазы (без порядка),
a(T) — температурно-зависимый коэффициент, критически важный для определения температуры фазового перехода,
b > 0 при устойчивом фазовом переходе второго рода,
η — параметр порядка.

Температурная зависимость a(T) обычно линейна вблизи критической точки:

a(T) = a₀(T − T_c)

где T_c — критическая температура, при которой происходит фазовый переход.

Минимизация свободной энергии и типы фазовых переходов

Стационарные значения параметра порядка определяются из условия минимума свободной энергии:

$$ \frac{dF}{d\eta} = 0 $$

Для модели с членами до четвёртого порядка:

$$ \frac{dF}{d\eta} = 2a\eta + 4b\eta^3 = 0 $$

Решения:

η = 0 — симметричная фаза,
$\eta^2 = -\frac{a}{2b}$, если a < 0 — упорядоченная фаза.

Это приводит к фазовому переходу второго рода (непрерывному): параметр порядка плавно возрастает при понижении температуры ниже T_c.

Если же b < 0, требуется учесть член шестой степени cη⁶ с c > 0, и переход становится первого рода (скачкообразный): параметр порядка меняется скачком в точке перехода.

Нарушение симметрии

Фазовый переход в теории Ландау описывается как спонтанное нарушение симметрии. Симметрия высокой температуры (например, η → −η) нарушается при переходе в упорядоченную фазу, где параметр порядка выбирает конкретное ненулевое значение. Это приводит к множественности возможных вакуумных состояний, между которыми могут существовать доменные границы.

Критическое поведение и критические показатели

Теория Ландау позволяет определить поведение термодинамических величин вблизи T_c. Например, поведение параметра порядка:

η(T) ∼ (T_c − T)^β, T < T_c

где $\beta = \frac{1}{2}$ — критический показатель. Аналогично:

Теплоёмкость:

C ∼ |T − T_c|^−α, α = 0

Сусцептильность:

χ ∼ |T − T_c|^−γ, γ = 1

Корреляционная длина:

$$ \xi \sim |T - T_c|^{-\nu}, \quad \nu = \frac{1}{2} $$

Эти значения называются критическими показателями Ландау, и они совпадают с экспериментальными только вдали от флуктуационного региона.

Ограничения и флуктуации

Основное ограничение теории Ландау — игнорирование критических флуктуаций. Вблизи T_c корреляционная длина ξ стремится к бесконечности, и вклад флуктуаций становится существенным. В этом режиме теория Ландау теряет точность.

Для описания флуктуационного поведения была развита теория Ландау — Гинзбурга (или Ландау — Гинзбурга — Вильсона), где параметр порядка становится функцией координаты η(r), а свободная энергия включает градиентные члены:

F[η] = ∫d³r[aη² + bη⁴ + c(∇η)²]

Такой подход позволяет анализировать пространственные неоднородности и доменные структуры.

Теория Ландау в различных физических системах

Ферромагнетизм. Параметр порядка — намагниченность M. Фазовый переход — переход в состояние с ненулевым M при T < T_c. Теория хорошо описывает поведение намагниченности вдали от T_c, но не учитывает критические флуктуации (в этом случае работает модель Изинга).

Сегнетоэлектричество. Параметр порядка — поляризация P, аналогично ферромагнетизму. Разложение свободной энергии включает члены P², P⁴ и т.д.

Сверхпроводимость. Теория Гинзбурга — Ландау — обобщение теории Ландау на комплексный параметр порядка ψ, связанный с макроскопической волновой функцией куперовских пар.

Групповой анализ симметрий в теории Ландау

Существенный элемент построения теории Ландау — анализ симметрий кристалла и параметра порядка. Ограничения на члены в разложении свободной энергии следуют из инвариантности по отношению к симметриям высокотемпературной фазы. Все возможные инварианты строятся с учётом представлений группы симметрии. Это особенно важно при анализе структурных фазовых переходов в кристаллах, где параметр порядка может быть тензорным или многокомпонентным.

Топология и мультиплетность параметров порядка

При сложных фазовых переходах параметр порядка может быть многокомпонентным. Например, при переходах типа гексагональная → ромбическая структура в твёрдом теле может быть задействован вектор параметра порядка, живущий в многомерном пространстве представлений. В таких случаях возникает богатая картина возможных доменных структур, топологических дефектов (доменные стенки, вихри, дизлокации параметра порядка), что влияет на кинетику фазовых переходов и свойства материала.

Роль внешних полей

Добавление внешнего поля, сопряжённого с параметром порядка, модифицирует разложение свободной энергии:

F(η, T, h) = F₀ + a(T)η² + bη⁴ − hη

Такое поле снимает вырождение по знаку параметра порядка, подавляет фазовый переход второго рода, превращая его в перекрытие состояний без скачка, но с быстрым изменением свойств. Это позволяет исследовать универсальность критического поведения.

Универсальность и классы универсальности

Несмотря на различие микроскопической природы фазовых переходов, их критическое поведение может быть идентичным. Это явление называется универсальностью. Системы с одинаковым числом компонент параметра порядка, одинаковой размерностью пространства и короткодействующими взаимодействиями принадлежат к одному классу универсальности. Теория Ландау фиксирует только определённый класс, игнорируя флуктуации, но закладывает основу для дальнейшего применения ренормгруппового анализа.