Теплопроводность электронов

Основы переноса энергии электронами

В металлах и полупроводниках перенос тепловой энергии осуществляется не только фононами, но и электронами, особенно в материалах с высокой концентрацией свободных носителей заряда. Электроны, обладающие высокой подвижностью и способностью к дальнодействующим возбуждениям, играют ключевую роль в теплопроводности, особенно при низких температурах, когда вклад фононов уменьшается из-за уменьшения тепловой популяции колебательных мод.

В рамках модели свободных электронов, тепловой поток, обусловленный электронами, описывается с использованием распределения Ферми – Дирака. Под действием температурного градиента электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, переносят энергию из более тёплых областей в холодные.

Уравнение теплового потока и коэффициент теплопроводности

Тепловой поток, переносимый электронами, можно выразить следующим образом:

q⃗e = −κe∇T

где

  • q⃗e — плотность теплового потока,
  • κe — электронная теплопроводность,
  • ∇T — градиент температуры.

Электронная теплопроводность определяется на основе решения уравнения Больцмана в приближении релаксации:

$$ \kappa_e = \frac{1}{3} C_e v_F^2 \tau $$

где

  • Ce — электронная теплоёмкость,
  • vF — скорость Ферми,
  • τ — время релаксации электронов.

Однако для точного описания в металлах применяют выражение, учитывающее свойства фермионов:

$$ \kappa_e = \frac{\pi^2}{3} \frac{k_B^2 T n \tau}{m} $$

где

  • kB — постоянная Больцмана,
  • T — абсолютная температура,
  • n — концентрация электронов,
  • m — эффективная масса электрона.

Закон Видемана–Франца

Для металлов наблюдается строгая связь между электрической проводимостью σ и теплопроводностью κe. Эта связь известна как закон Видемана–Франца:

$$ \frac{\kappa_e}{\sigma T} = L $$

где

  • L — постоянная Лоренца, равная $L_0 = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k_B}{e} \right)^2 \approx 2.45 \times 10^{-8} \, \text{Вт} \cdot \text{Ом} / \text{К}^2$.

Закон Видемана–Франца справедлив при высоких температурах, когда доминирует рассеяние на фононах, а распределение электронов подчиняется статистике Ферми при T ≫ ΘD, где ΘD — температура Дебая.

При низких температурах рассеяние на примесях и дефектах приводит к отклонениям от закона, что позволяет использовать теплопроводность как диагностический инструмент при изучении механизмов рассеяния.

Микроскопическая картина переноса

В рамках полуклассической теории Больцмана электронная теплопроводность выражается через интеграл по пространству импульсов:

$$ \kappa_e = -\frac{2}{(2\pi)^3 T} \int \left( \varepsilon - \mu \right)^2 \vec{v}_k \cdot \vec{v}_k \tau(\varepsilon) \left( -\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon} \right) d^3k $$

где

  • ε — энергия электрона,
  • μ — химический потенциал,
  • v⃗k — групповая скорость,
  • f0 — распределение Ферми–Дирака,
  • τ(ε) — энергия-зависимое время релаксации.

Интеграл показывает, что вклад в теплоперенос дают только электроны вблизи уровня Ферми, поскольку −∂f0/∂ε существенно только в интервале порядка kBT около μ.

Влияние рассеяния и температуры

Рассеяние электронов определяет характер теплопереноса. В металлах основными механизмами рассеяния являются:

  • на фононах (высокие T),
  • на примесях и дефектах (низкие T),
  • на границах зёрен и дислокациях (в поликристаллических материалах).

При низких температурах τ ∝ T−5 (если доминирует рассеяние на фононах), и, следовательно, κe ∝ T−2. При рассеянии на примесях τ становится температурно-независимым, и κe ∝ T.

Таким образом, температурная зависимость теплопроводности содержит информацию о преобладающем механизме рассеяния.

Электронная теплопроводность в полупроводниках

В полупроводниках вклад электронов в теплопроводность зависит от концентрации носителей, которая существенно изменяется с температурой. При низких T концентрация носителей мала, и основной вклад в теплопроводность даётся фононами. При повышении температуры термическая генерация электронов и дырок возрастает, и электронная теплопроводность может становиться заметной.

Для легированных полупроводников теплопроводность электронов также зависит от положения уровня Ферми относительно краёв зон, эффективной массы носителей и характера рассеяния (на ионизированных примесях, фононах и т. д.).

Анизотропия и кристаллографическая зависимость

В анизотропных материалах, таких как графит, медь в форме одноосных кристаллов или высокотемпературные сверхпроводники, теплопроводность электронов демонстрирует выраженную зависимость от направления. Это связано с анизотропией электронного спектра и различиями в времени релаксации вдоль разных кристаллографических осей.

Тензор теплопроводности в таких случаях имеет вид:

$$ \vec{q}_i = - \kappa_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j} $$

где κij — компоненты тензора теплопроводности, зависящие от симметрии кристаллической решётки и электронного спектра.

Теплоперенос в сверхпроводниках

В сверхпроводящих материалах при температурах ниже критической теплопроводность электронами резко уменьшается, поскольку электронная подсистема переходит в состояние безрассеивающего движения Куперовских пар. Вклад в теплоперенос начинают вносить квазичастицы, возникающие из-за тепловых флуктуаций и нарушений спаривания. Однако их концентрация экспоненциально мала, и общий электронный вклад в теплоперенос оказывается крайне мал.

Тем не менее, вблизи перехода в сверхпроводящее состояние наблюдается аномальное поведение теплопроводности, связанное с изменением спектра возбуждений и длины когерентности.

Роль теплопроводности при экспериментальных исследованиях

Измерения теплопроводности позволяют исследовать не только фундаментальные свойства электронного газа в твёрдом теле, но и механизмы рассеяния, структуру зон, а также наличие топологических состояний, граничных эффектов и других сложных квантовых феноменов. В экспериментах часто используют относительные изменения теплопроводности в магнитном поле или при изменении направления теплового потока для изучения электронной структуры и механизмов релаксации.

Оглавление