Упругость кристаллов — это способность твердого тела восстанавливать свою форму и размеры после удаления внешних сил. Эта способность описывается законами упругости, которые устанавливают количественные связи между приложенными внешними силами и возникающими в веществе деформациями. В случае кристаллов, обладающих регулярной атомной структурой, упругие свойства напрямую связаны с симметрией кристаллической решётки и межатомными взаимодействиями.
Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в теле под действием внешней нагрузки. Оно определяется как сила, приходящаяся на единицу площади:
$$ \sigma_{ij} = \frac{F_i}{A_j}, $$
где σij — компонент тензора напряжений, Fi — компонента силы, а Aj — нормаль к площадке действия.
Деформация — изменение формы или размеров тела. В линейной теории упругости используется тензор малых деформаций:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right), $$
где ui — компоненты вектора перемещений.
Линейная связь между напряжениями и деформациями для упругих тел выражается законом Гука:
σij = ∑klCijklεkl,
где Cijkl — тензор упругих модулей четвёртого ранга, отражающий свойства материала.
Из-за симметрии напряжений и деформаций, а также из-за симметрии самого кристалла, число независимых компонентов тензора Cijkl уменьшается. Например, для изотропных тел остаются только два независимых параметра — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Для анизотропных кристаллов (кубических, гексагональных и т.д.) число независимых упругих констант определяется элементами симметрии.
Для кубических кристаллов (например, Fe, Si, NaCl) сохраняются всего три независимые упругие константы:
C11, C12, C44.
Матрица тензора упругости в сокращенной (Войтовской) нотации:
$$ \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} \end{pmatrix} $$
Для кристаллов с гексагональной симметрией (например, графит, ZnO) необходимо учитывать 5 независимых упругих модулей:
C11, C12, C13, C33, C44.
Упругая энергия деформации на единицу объема:
$$ U = \frac{1}{2} \sum_{ij} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \sum_{ijkl} C_{ijkl} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{kl}. $$
Эта энергия положительна при всех допустимых деформациях, что обеспечивает устойчивость кристалла.
В случае изотропного тела (одинаковые свойства во всех направлениях) упруго-деформационные связи упрощаются. Тензор упругости имеет вид:
Cijkl = λδijδkl + μ(δikδjl + δilδjk),
где λ и μ — постоянные Ламе.
Связь между упругими модулями:
описываются следующими выражениями:
$$ E = \frac{9KG}{3K + G},\quad \nu = \frac{3K - 2G}{2(3K + G)}. $$
Для кристаллов важную роль играет направление измерения деформаций и приложенных нагрузок. Анизотропия упругости приводит к тому, что модуль Юнга и другие упругие параметры зависят от направления. Для характеристики степени анизотропии используется безразмерный параметр:
$$ A = \frac{2C_{44}}{C_{11} - C_{12}}, $$
где A = 1 — изотропный предел, а отклонение от него характеризует степень анизотропии кубического кристалла.
На атомарном уровне упругие свойства связаны с кривизной потенциала взаимодействия между атомами. При малых смещениях атомов из положения равновесия сила взаимодействия можно аппроксимировать линейной зависимостью (гармоническое приближение):
$$ F = -\frac{dU}{dx} \approx -k x, $$
где k — эффективная константа силы. Чем круче потенциальная яма, тем выше модуль упругости. Таким образом, упругие модули отражают не только геометрию кристаллической решётки, но и силу межатомных связей.
Существуют различные методы экспериментального определения упругих констант:
Скорость упругих волн в кристалле зависит от упругих модулей и плотности:
$$ v_l = \sqrt{\frac{C_{11}}{\rho}},\quad v_t = \sqrt{\frac{C_{44}}{\rho}}, $$
где vl и vt — скорости продольной и поперечной волны соответственно, ρ — плотность материала.
Упругость играет ключевую роль в ряде явлений:
Симметрия кристалла напрямую ограничивает форму тензора упругости. Это означает, что, зная класс симметрии (например, через группу точечной симметрии), можно предсказать количество и форму упругих независимых модулей. В общем случае число независимых упругих констант может доходить до 21 (в триклинной системе), но с ростом симметрии оно уменьшается. Таблицы с классификацией упругих модулей по системам симметрии являются важным инструментом для материаловедения и теоретической физики твёрдого тела.
При больших деформациях линейные приближения перестают работать. Тогда требуется учёт нелинейной упругости, где связь между напряжением и деформацией включает более высокие степени тензора деформации. Это необходимо, например, при анализе деформаций вблизи трещин, под высоким давлением или в условиях больших сдвигов.
Нелинейные эффекты также влияют на взаимодействие фононов, акустические солитоны и акустооптические эффекты.
В наноматериалах и многослойных структурах наблюдаются значительные отклонения от макроскопических упругих свойств. Это связано с:
В композитах упругие свойства определяются как свойствами компонентов, так и структурой их распределения. Применяются теории эффективных сред, методы гомогенизации и численные расчёты (например, метод конечных элементов).
В рамках классической механики непрерывных сред, упругость описывается уравнениями движения и законами сохранения (импульса, энергии). С ними согласуются:
Эти теоретические основы позволяют строить расчёты деформаций и напряжений в конструкциях, а также анализировать устойчивость и разрушение кристаллических тел.