Время релаксации

Время релаксации — это фундаментальный параметр, характеризующий динамику возвращения неравновесной подсистемы к термодинамическому равновесию в твёрдом теле. Оно описывает, насколько быстро электроны, дырки, фононы или другие возбуждённые квазичастицы рассеиваются и теряют информацию о начальном возмущении. Этот параметр имеет ключевое значение в теории транспорта, в том числе в электрической, тепловой и спиновой проводимости.

Микроскопическая интерпретация времени релаксации

Для электронов в твёрдом теле основными механизмами релаксации являются:

  • рассеяние на фононах (электрон-фононное взаимодействие);
  • рассеяние на примесях и дефектах кристаллической решётки;
  • электрон-электронные взаимодействия.

Микроскопически время релаксации τ связано со скоростью перехода электронов между состояниями с помощью переходной вероятности по формуле Ферми:

$$ \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \sum_{\mathbf{k}'} W_{\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{k}'} \left[1 - \frac{f(\mathbf{k}')}{f(\mathbf{k})} \right] $$

где Wk → k′ — вероятность перехода из состояния k в k′, f(k) — функция распределения.

Время релаксации и кинетическое уравнение Больцмана

Одним из центральных применений времени релаксации является приближённое решение уравнения Больцмана. При использовании приближения времени релаксации (relaxation time approximation, RTA) уравнение Больцмана можно записать в виде:

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столкнов}} = -\frac{f - f_0}{\tau} $$

где f — неравновесная функция распределения, f0 — равновесное распределение (обычно ферми-дировское), τ — время релаксации. Это приближение эффективно для описания линейного отклика системы на внешние поля при условии слабого возмущения.

Зависимость времени релаксации от температуры и энергии

Время релаксации не является постоянной величиной. Оно зависит от:

  • энергии электрона;
  • температуры кристалла;
  • концентрации примесей;
  • природы фононного спектра.

Например, при низких температурах доминирует рассеяние на примесях, что приводит к временам релаксации, слабо зависящим от температуры. При высоких температурах преобладает электрон-фононное рассеяние, и τ ∝ T−3 для трёхмерных кристаллов с акустическими фононами.

Время релаксации и электрическая проводимость

Электропроводность в рамках модели Друде выражается через время релаксации:

$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m^*} $$

где:

  • n — концентрация носителей,
  • e — заряд электрона,
  • m* — эффективная масса,
  • τ — среднее время релаксации.

Таким образом, уменьшение времени релаксации (например, при росте температуры) напрямую ведёт к снижению электропроводности.

Релаксация фононных и спиновых подсистем

Фононная релаксация описывает процессы установления теплового равновесия в решётке. Основные типы процессов — это:

  • фонон-фононное взаимодействие (процессы Умкланга),
  • фонон-электронное взаимодействие,
  • фонон-примесное рассеяние.

Время релаксации фононов критически важно для описания теплопроводности:

$$ \kappa = \frac{1}{3} C v^2 \tau $$

где C — теплоёмкость, v — скорость фононов, τ — их время релаксации.

Спиновое время релаксации τs характеризует потерю спиновой поляризации носителей и играет важную роль в спинтронике. Механизмы спиновой релаксации включают:

  • механизм Элиота–Яффета (из-за спин-орбитального взаимодействия при рассеянии),
  • механизм Дьяконова–Переля (в системах без инверсии по инверсии).

Анормальное поведение времени релаксации в сильносвязанных и коррелированных системах

В системах с сильным взаимодействием (например, в высокотемпературных сверхпроводниках, тяжёлых фермионах) стандартное понятие времени релаксации может терять смысл. В таких случаях возможна энергетическая зависимость формы распределения, и τ может не иметь простой интерпретации. Возникает необходимость использования полного интегрального уравнения Больцмана или методов квантовой кинетики.

В сильно коррелированных металлах (например, в системах с эффектом Колба) время релаксации может демонстрировать нелинейную зависимость от энергии или проявлять квантовые эффекты при низких температурах. В частности, наблюдаются отклонения от линейной температурной зависимости сопротивления, предсказанной моделью Друде.

Среднее и эффективное время релаксации

Поскольку время релаксации зависит от энергии, вводится средневзвешенное время релаксации:

$$ \langle \tau \rangle = \frac{\int \tau(\varepsilon) \left( -\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon} \right) \varepsilon^s \, d\varepsilon}{\int \left( -\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon} \right) \varepsilon^s \, d\varepsilon} $$

Здесь степень s зависит от конкретной транспортной характеристики (например, s = 0 для удельной проводимости, s = 1 — для теплопроводности). Такое усреднение отражает вклад различных энергетических состояний в транспортный процесс.

Экспериментальные методы определения времени релаксации

Время релаксации может быть получено:

  • из измерений подвижности μ = eτ/m*;
  • по добротности резонансов в методах электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) или ядерного магнитного резонанса (ЯМР);
  • из ширины линии в оптических спектрах (поглощение, отражение, плазмоны);
  • в методах пикосекундной и фемтосекундной спектроскопии (релаксация возбуждённых состояний);
  • в исследованиях отклика на короткие импульсы тока или света.

Роль времени релаксации в нелинейных и нестационарных режимах

Во многих физических ситуациях — при сильных внешних полях, резком изменении температуры, или в наносистемах — стандартная модель релаксации становится недостаточной. Тогда требуется учитывать:

  • нелинейность отклика f ≠ f0 + δf,
  • временную зависимость τ(t),
  • неэкспоненциальную релаксацию (например, в системах со стеклообразными свойствами или ловушками).

Могут использоваться обобщённые модели релаксации, в том числе дробные дифференциальные уравнения, модели с распределением времен релаксации, и численные симуляции на основе уравнений Лиувилля или динамики Монте-Карло.

Влияние размерности и квантовых эффектов

В двумерных и одномерных системах (графен, квантовые нити и точки) характер релаксации существенно меняется. Уменьшение размерности ограничивает фазовое пространство рассеяния, снижает эффективность некоторых механизмов релаксации и усиливает квантовые эффекты (интерференция, когерентность, локализация).

В условиях квантовой когерентности можно наблюдать:

  • квантовое замедление релаксации (эффект квантовой задержки);
  • эффект возмущений от наблюдения (декогеренция);
  • болцмановскую инверсию (обратное распределение при накачке).

Эти явления особенно актуальны для нанофизики и разработки квантовых технологий.

Оглавление