Определение и геометрия зон Бриллюэна
В теории твёрдого тела, зоной Бриллюэна называют область в обратном пространстве, соответствующую примитивной ячейке решётки обратного пространства, построенную по методу Вигнера–Зейца. Первая зона Бриллюэна определяется как область, заключённая между плоскостями, перпендикулярными векторам обратной решётки и проходящими через середины этих векторов. Эта зона является фундаментальным понятием при анализе энергетических спектров и динамики электронов в кристалле.
Зоны Бриллюэна обладают строгой геометрической симметрией, определяемой симметрией кристаллической решётки. Например, для простой кубической решётки первая зона Бриллюэна имеет форму куба, для ГЦК – додекаэдра, для ОЦК – ромбододекаэдра. В случае двумерных решёток (гексагональной, квадратной и др.) зоны Бриллюэна имеют характерную форму правильного многоугольника.
Роль зон Бриллюэна в теории зонной структуры
Зоны Бриллюэна играют ключевую роль в анализе зонной структуры твёрдых тел. Поскольку кристаллический потенциал периодичен, волновая функция электрона может быть записана в форме Блоха, и все возможные значения квазиимпульса k⃗ можно ограничить первой зоной Бриллюэна.
Зонная структура электрона, вычисляемая как функция E(k⃗), является периодической по вектору обратной решётки. Следовательно, достаточно изучить зависимость E(k⃗) только в пределах первой зоны Бриллюэна. При переходе границы зоны, k⃗-вектор переводится в эквивалентный вектор внутри первой зоны.
Кристаллические зоны разделяются энергетическими промежутками — запрещёнными зонами — возникающими вследствие брэгговского отражения электронных волн при их взаимодействии с периодическим потенциалом кристалла. Эти энергетические разрывы наиболее выражены в точках границы первой зоны Бриллюэна, где условие Брэгга максимально удовлетворяется.
Построение зон Бриллюэна: метод Вигнера–Зейца
Для построения зон Бриллюэна используется обратная решётка, задаваемая базисными векторами b⃗1, b⃗2, b⃗3, связанными с прямой решёткой соотношениями:
$$ \vec{b}_1 = 2\pi \frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \quad \text{и циклически} $$
Далее, для построения первой зоны Бриллюэна необходимо:
Аналогично, вторая зона Бриллюэна включает те точки, которые находятся ближе ко второму ближайшему узлу обратной решётки и так далее. Таким образом, зоны Бриллюэна представляют собой серию вложенных областей, определяющих структуру обратного пространства.
Высокосимметричные точки и линии в зоне Бриллюэна
Для практического анализа дисперсионных соотношений часто рассматриваются траектории в пространстве k⃗, проходящие через высокосимметричные точки зоны Бриллюэна. Эти точки (обычно обозначаются как Γ, X, L, K, W и т.п.) определяются симметрией решётки и играют ключевую роль в построении энергетических зон и в интерпретации спектроскопических данных (например, в фотоэмиссионной спектроскопии).
Переходы между этими точками в k⃗-пространстве определяют характерные участки дисперсионной зависимости E(k⃗), часто представляемой в виде зонной диаграммы. Именно вблизи высокосимметричных точек чаще всего располагаются крайние значения энергетических зон (доны и вершины).
Значение зон Бриллюэна для электронных и фононных спектров
При анализе электронной структуры зоны Бриллюэна позволяют:
Аналогично, при изучении фононного спектра (дисперсии колебаний атомов) также применяется зона Бриллюэна, но с учётом кристаллической симметрии и масс атомов в элементарной ячейке. Групповая скорость, звуковые моды, а также оптические и акустические фононы анализируются в пределах первой зоны Бриллюэна.
Групповая и фазовая скорость: особенности вблизи границ зоны
Важным аспектом является различие между фазовой и групповой скоростью электронов. Групповая скорость определяется как:
$$ \vec{v}_g = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\vec{k}} E(\vec{k}) $$
Вблизи границ зоны Бриллюэна, где возникают запрещённые зоны, дисперсия E(k⃗) искажается, и групповая скорость может обращаться в ноль. Это связано с интерференцией волн, удовлетворяющих условию Брэгга. Такие особенности структуры спектра оказывают влияние на подвижность носителей и теплопроводность.
Расширенные и приведённые зоны
Существует два способа представления зонной структуры:
Приведённая зона (reduced zone scheme): все значения k⃗ сводятся в пределы первой зоны Бриллюэна, а уровни энергии обозначаются индексами зон (первичная, вторая и т.д.). Это представление подчёркивает периодичность E(k⃗) и удобно для теоретического анализа.
Расширенная зона (extended zone scheme): энергетические уровни изображаются без сведения к первой зоне, то есть k⃗ пробегает всё обратное пространство. Такое представление удобно при рассмотрении переходов между различными зонами и наглядной визуализации наложения спектров.
Применения зон Бриллюэна
Зоны Бриллюэна широко применяются в различных областях физики твёрдого тела:
Кроме того, знание геометрии зон Бриллюэна критически важно при моделировании наноструктур, двумерных материалов (графен, переходные металлы дихалькогениды), топологических изоляторов и сверхпроводников.
Особенности в неоднородных и квазикристаллических системах
В системах с нарушенной периодичностью — например, в аморфных телах, квазикристаллах или при наличии суперструктур — классическая конструкция зон Бриллюэна теряет строгую применимость. Однако аналогичные понятия, основанные на фурье-анализе или псевдопериодических функциях, позволяют расширить концепцию зон Бриллюэна и на такие системы.
В частности, в квазикристаллах строят так называемые обобщённые зоны Бриллюэна в гиперпространстве, проецируя их на физическое пространство с использованием метода проекций. Это позволяет интерпретировать электронные спектры и локализацию волн в условиях отсутствия трансляционной симметрии.