Бетатрон — это электромагнитный ускоритель электронов, основанный на принципе индукционного ускорения, впервые реализованный в 1940-х годах. В отличие от линейных ускорителей, где частицы ускоряются электрическим полем вдоль прямой траектории, бетатрон использует изменяющееся магнитное поле для ускорения электронов по замкнутой круговой орбите.
Ключевой принцип: ускорение происходит за счет индуцированного электрического поля, возникающего в проводящей петле (пучке электронов) при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную траекторией движения частиц. Закон Фарадея описывает этот процесс:
$$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, $$
где ℰ — ЭДС, индуцированная по замкнутому контуру, а Φ — магнитный поток через этот контур.
Эта ЭДС действует на электроны, заставляя их двигаться по круговой орбите. Ключевым условием стабильного движения является соотношение между магнитным полем на орбите и средним магнитным полем внутри орбиты. Для круговой орбиты радиуса R выполняется условие бетатрона:
$$ B_\text{ср} = \frac{1}{2} B_\text{орб}, $$
где Bср — среднее магнитное поле внутри орбиты, а Bорб — магнитное поле на орбите. Это условие обеспечивает правильную фокусировку и сохранение траектории электронов при ускорении.
Бетатрон состоит из следующих основных компонентов:
Магнитопровод с полюсами электромагнита. Полюса создают направленное магнитное поле, в котором электроны движутся по круговой траектории. Форма полюсов подбирается так, чтобы обеспечить требуемую пространственную однородность поля.
Вакуумная трубка (коллектор). Внутри нее находятся ускоряемые электроны. Вакуум необходим для предотвращения рассеяния и ионизационных потерь.
Источник электронов. Обычно это термоэмиссионная катодная система, испускающая электроны, которые затем захватываются изменяющимся магнитным полем.
Обмотка для создания изменяющегося магнитного потока. Это основной индуктор, создающий переменное магнитное поле, индуцирующее электрическое поле для ускорения электронов.
Ускорение электронов в бетатроне связано с работой индукционного электрического поля. Рассмотрим закон изменения импульса частицы под действием индуцированного поля:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = -e \mathbf{E}, $$
где p — импульс электрона, e — заряд электрона, а E — индуцированное электрическое поле.
Для круговой орбиты длиной 2πR работа поля за один оборот равна:
W = e∮E ⋅ dl = eℰ ⋅ 2πR,
что позволяет определить скорость наращивания энергии и, соответственно, предельную энергию электронов.
Энергия частиц ограничена радиационными потерями, обусловленными излучением синхротронного типа, которое растет с увеличением энергии. Для электронов, движущихся в магнитном поле, мощность излучения определяется выражением:
$$ P = \frac{2 e^2 \gamma^4 \beta^4 c}{3 R^2}, $$
где γ — релятивистский фактор Лоренца, β = v/c, v — скорость электрона, R — радиус орбиты.
Стабильность движения частиц в бетатроне обеспечивается за счет:
Градиентного магнитного поля. Слабо неоднородное поле создает поперечную силу, возвращающую электроны к среднему радиусу орбиты.
Соблюдения условия бетатрона. Соотношение $B_\text{ср} = \frac{1}{2} B_\text{орб}$ обеспечивает гармоническое колебание частиц вокруг орбиты.
Малого угла рассогласования индукции. Если изменение магнитного поля слишком быстрое, электроны теряют синхронизацию и могут покинуть орбиту.
Фокусировка описывается дифференциальным уравнением для радиального смещения Δr:
$$ \frac{d^2 (\Delta r)}{dt^2} + \omega_r^2 \Delta r = 0, $$
где ωr — частота малых радиальных колебаний, определяемая градиентом поля.
Хотя классические бетатроны уступают современным синхротронам по достигнутой энергии, они остаются полезными для:
Современные модификации включают бетатроны с усовершенствованными магнитными системами, позволяющими получать стабильные пучки более высокой энергии, а также интеграцию с линейными ускорителями для предварительного разгона частиц.