Движение заряженных частиц в магнитных полях лежит в основе работы всех ускорителей частиц. Магнитные поля влияют на траекторию частиц, создавая центростремительное ускорение, необходимое для удержания их в замкнутой орбите, а также для управления их направлением в линейных ускорителях.
Сила, действующая на заряженную частицу в магнитном поле, описывается уравнением Лоренца:
F = q(v × B)
где:
Особенностью силы Лоренца является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости частицы. Следовательно, магнитное поле не изменяет скорость частицы по величине, а лишь изменяет направление движения, создавая криволинейную траекторию.
Для однородного магнитного поля B, направленного вдоль оси z, движение частицы с зарядом q и массой m описывается системой:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$
Решение этой системы показывает, что частица движется по спирали вокруг линии магнитного поля, если присутствует компонент скорости вдоль B. Для движения, перпендикулярного к полю, траектория становится окружностью радиусом:
$$ r = \frac{mv_\perp}{qB} $$
где v⟂ — компонент скорости, перпендикулярный магнитному полю. Этот радиус называют радиусом циклотронной траектории.
Частота вращения частицы в магнитном поле называется циклотронной и определяется выражением:
$$ \omega_c = \frac{qB}{m} $$
Эта частота не зависит от радиуса траектории и скорости частицы в неотносистическом приближении.
В реальных ускорителях магнитное поле редко бывает полностью однородным. Неоднородность приводит к дополнительным эффектам, таким как:
Эти дрейфы необходимо учитывать при проектировании магнитных систем хранения частиц, таких как синхротроны и кольцевые накопители.
В кольцевых ускорителях частицы не двигаются идеально по замкнутой траектории из-за отклонений от идеальной орбиты. Малые отклонения описываются уравнениями Гамильтона с параболической аппроксимацией магнитного поля. В окрестности идеальной траектории возникают гармонические колебания с частотой, называемой бета-функцией:
x″ + K(s)x = 0, y″ + K(s)y = 0
где x, y — отклонения от идеальной траектории, K(s) — фокусирующий коэффициент, зависящий от кривизны магнитного поля в точке s. Эти колебания определяют стабильность пучка и диаметр пучка в различных секциях ускорителя.
При больших энергиях E ≫ mc2 необходимо учитывать релятивистские эффекты. Масса частицы увеличивается по формуле:
$$ m_\text{р} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
Следовательно, радиус кривизны и циклотронная частота становятся зависимыми от энергии:
$$ r = \frac{\gamma m_0 v_\perp}{qB}, \quad \omega_c = \frac{qB}{\gamma m_0} $$
где γ — релятивистский фактор Лоренца. Это критически важно при проектировании синхротронов и накопителей для электронов и протонов на высоких энергиях.
Для стабильного удержания пучка в кольцевых ускорителях применяют магнитное фокусирование:
Фокусирующая система позволяет уменьшить размер пучка и контролировать его стабильность на протяжении всего ускорителя.
Современные ускорители используют комбинации дипольных, квадрупольных и секупольных магнитов для управления пучком:
Анализ движения частиц в таких системах требует численного решения уравнений Лоренца с учетом пространственной зависимости поля и релятивистских эффектов.