При описании динамики нейтрино в ускорительных и астрофизических условиях ключевым инструментом служат эволюционные уравнения, которые определяют поведение квантовых состояний нейтрино во времени и пространстве. В отличие от классических частиц, динамика нейтрино определяется не только кинематическими характеристиками, но и внутренней структурой их волновой функции, наличием смешивания поколений и взаимодействиями с веществом и радиационными полями.
Основу формализма составляет уравнение Шрёдингера для системы с несколькими состояниями, дополненное поправками, учитывающими диссипацию и средовые эффекты. Эволюционные уравнения позволяют проследить, как изменяется flavor-состав нейтрино (электронные, мюонные, тау-нейтрино) по мере распространения от источника до детектора.
Состояние нейтрино можно описать в базисе ароматов как вектор:
$$ |\nu(t)\rangle = \begin{pmatrix} \nu_e(t) \\ \nu_\mu(t) \\ \nu_\tau(t) \end{pmatrix}. $$
Эволюция подчиняется уравнению:
$$ i \frac{d}{dt} |\nu(t)\rangle = H |\nu(t)\rangle, $$
где H — эффективный гамильтониан, зависящий от массы, энергии и среды распространения.
В вакууме гамильтониан имеет вид:
$$ H_{\text{vac}} = \frac{1}{2E} U \begin{pmatrix} m_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & m_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3^2 \end{pmatrix} U^\dagger, $$
где E — энергия нейтрино, mi — массы собственных состояний, а U — матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты (PMNS), описывающая смешивание поколений.
При прохождении нейтрино через вещество в гамильтониан добавляется член взаимодействия с электронами среды:
$$ H_{\text{mat}} = \sqrt{2} G_F n_e \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$
где GF — константа Ферми, ne — электронная плотность.
Эффект MSW (Михаэева–Смирнова–Вольфенштейна) приводит к тому, что вероятность перехода между ароматами резко изменяется при определённых значениях плотности. В астрофизике и ускорительных экспериментах этот эффект имеет фундаментальное значение, так как может усиливать осцилляции до максимальных амплитуд.
В реальных условиях нейтрино не являются идеально когерентной системой. Учет конечной длины когерентности и взаимодействий с флуктуациями среды требует введения плотностной матрицы:
ρ(t) = |ν(t)⟩⟨ν(t)|,
которая эволюционирует по уравнению Лиувилля:
$$ i \frac{d\rho}{dt} = [H, \rho] + \mathcal{D}[\rho]. $$
Термин ????[ρ] описывает диссипацию и декогеренцию, возникающие из-за статистических процессов в среде или взаимодействий с другими квантовыми полями.
В условиях сверхновых или плотных нейтринных потоков нейтрино начинают существенно взаимодействовать друг с другом. В этом случае к гамильтониану добавляется самосогласованный член:
$$ H_{\nu\nu} = \sqrt{2} G_F \int (1 - \cos\theta) \rho(p') \, d^3p', $$
где интеграл берётся по всем импульсам других нейтрино.
Такой нелинейный характер уравнений приводит к коллективным эффектам, включая синхронные осцилляции, бифуркации и спектральные расщепления, которые невозможно объяснить в рамках простой линейной теории.
Эволюционные уравнения для нейтрино, особенно в присутствии нелинейных членов и переменной плотности среды, требуют численного интегрирования. Основные подходы:
В ускорительной физике такие методы позволяют прогнозировать ожидаемое распределение ароматов на детекторах в зависимости от расстояния, энергии и состава пучка.