Фокусировка пучков в линейных ускорителях

Фокусировка пучков заряженных частиц является ключевым элементом в работе линейных ускорителей. Без эффективной фокусировки пучок рассеивался бы под действием собственных кулоновских сил и неравномерностей внешних полей, что приводило бы к значительным потерям частиц и снижению качества ускорения. В линейных ускорителях фокусировка осуществляется с помощью системы магнитных и электростатических элементов, обеспечивающих управляемую траекторию частиц.

Принципы фокусировки

Фокусировка пучка основана на управлении радиальными колебаниями частиц вокруг центральной траектории. Основные принципы включают:

  1. Линейная аппроксимация: движение частиц в окрестности идеальной траектории описывается как малые отклонения в плоскости X и Y. Эти отклонения подчиняются линейным дифференциальным уравнениям типа:

$$ \frac{d^2 x}{dz^2} + K_x(z) x = 0, \quad \frac{d^2 y}{dz^2} + K_y(z) y = 0 $$

где Kx(z) и Ky(z) — фокусирующие коэффициенты, зависящие от распределения полей вдоль оси ускорителя.

  1. Фокусирующий и дефокусирующий элементы: элемент, создающий магнитное поле с линейной зависимостью от координаты, фокусирует пучок в одной плоскости и дефокусирует в перпендикулярной. Таким образом, необходимо чередование фокусирующих и дефокусирующих элементов — принцип FODO-схемы (Focus-Drift-Defocus-Drift).

  2. Матрицы переноса: для линейных систем удобно использовать матричный формализм, описывающий изменение координат и углов частиц после прохождения элемента. Для элементарного квадруполя матрица выглядит как:

$$ M = \begin{pmatrix} \cos(\sqrt{K}L) & \frac{1}{\sqrt{K}}\sin(\sqrt{K}L) \\ - \sqrt{K}\sin(\sqrt{K}L) & \cos(\sqrt{K}L) \end{pmatrix} $$

где L — длина элемента, K — коэффициент фокусировки.

Магнитная фокусировка

Квадрупольные магниты

Основными элементами магнитной фокусировки являются квадрупольные магниты, создающие линейное градиентное поле:

Bx = Gy,  By = Gx

где G — градиент магнитного поля. Они обладают следующими особенностями:

  • Фокусируют в одной плоскости, дефокусируют в другой.
  • Эффективны для компенсации разброса по координатам.
  • Используются в системах FODO и более сложных конфигурациях для управления размером и формой пучка.

Секвенции FODO

Чередование фокусирующих (F) и дефокусирующих (D) квадруполей с промежуточными промежутками (O — drift space) обеспечивает устойчивую фокусировку пучка на больших расстояниях. Основные параметры секвенции:

  • Длина ячейки: оптимизируется под энергию пучка.
  • Градиент магнитного поля: выбирается для обеспечения желаемого размера пучка.
  • Параметры бета-функции: определяют амплитуду колебаний частиц и их распределение вдоль ускорителя.

Электростатическая фокусировка

В низкоэнергетических линейных ускорителях применяются электростатические линзы. Принципы работы:

  • Формирование потенциала с квадратной зависимостью от радиальной координаты.
  • Линейное поле фокусирует пучок аналогично магнитному квадруполю.
  • Электростатические системы менее чувствительны к спину частиц и не создают индуктивные поля, что важно для тяжёлых ионов на низких энергиях.

Устойчивость движения пучка

Для обеспечения стабильной фокусировки необходимо учитывать:

  1. Пространственное распределение пучка: плотность частиц определяет величину кулоновского разлета.
  2. Амплитудно-фазовая связь: для сохранения регулярности колебаний важен выбор длины и градиентов фокусирующих элементов.
  3. Резонансные эффекты: избегаются значения фазовых проходов, кратных π, чтобы не возникали неустойчивые резонансы.

Параметры пучка и их оптимизация

Для качественной фокусировки анализируются следующие параметры:

  • Бета-функция β(z): характеризует амплитуду колебаний пучка в данной точке.
  • Эмиттанс ϵ: площадь фазового пространства, занимаемая пучком; сохраняется при линейной фокусировке.
  • Размер пучка $\sigma(z) = \sqrt{\epsilon \beta(z)}$: зависит от бета-функции и эмиттанса.

Оптимизация заключается в подборе градиентов и длины элементов для минимизации размера пучка и поддержания стабильности.

Практические аспекты

  1. Выравнивание элементов: точность расположения квадруполей критически важна — миллиметровые смещения приводят к рассеянию пучка.
  2. Коррекция хроматизма: энергия частиц в пучке распределена, и фокусирующие элементы могут приводить к различной фокусировке для разных энергий. Применяются корректирующие элементы.
  3. Диагностика пучка: для контроля размера и формы пучка используют профилометры, флуоресцентные экраны и ионные детекторы.
Оглавление