Формализм матрицы плотности

В квантовой механике состояние системы может описываться не только волновой функцией, но и более общей конструкцией — матрицей плотности. Формализм матрицы плотности особенно удобен в задачах, где необходимо учитывать статистическую смесь квантовых состояний, а также в случаях, когда система взаимодействует с окружающей средой и не является замкнутой. Для ускорительной физики данный подход оказывается фундаментальным, поскольку пучки частиц, формируемые в ускорителях, представляют собой ансамбли с распределением по фазовому пространству и квантовым степеням свободы.

Матрица плотности определяется как оператор

ρ̂ = ∑iwi |ψi⟩⟨ψi|,

где |ψi⟩ — состояния квантовой системы, а wi — их вероятностные веса (wi ≥ 0, ∑iwi = 1). В частном случае чистого состояния имеем

ρ̂ = |ψ⟩⟨ψ|.

Таким образом, матрица плотности позволяет единым образом описывать как чистые состояния, так и смешанные состояния.

Свойства матрицы плотности

  1. Гермитовость:

ρ̂† = ρ̂.

  1. Положительная определённость:

⟨ϕ|ρ̂|ϕ⟩ ≥ 0  для любого состояния |ϕ⟩.

  1. Нормировка:

Tr(ρ̂) = 1.

  1. Чистота состояния: Величина

γ = Tr(ρ̂2)

характеризует степень “чистоты” состояния. Для чистого состояния γ = 1, для смешанных γ < 1.

Эволюция матрицы плотности

Эволюция во времени задаётся уравнением фон Неймана:

$$ i\hbar \frac{d \hat{\rho}}{dt} = [\hat{H}, \hat{\rho}], $$

где Ĥ — гамильтониан системы. Это уравнение является аналогом уравнения Шрёдингера, но для статистических ансамблей.

В присутствии диссипации и взаимодействия с окружающей средой используется мастер-уравнение Линдблада:

$$ \frac{d \hat{\rho}}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{\rho}] + \sum_k \left( \hat{L}_k \hat{\rho} \hat{L}_k^\dagger - \frac{1}{2} \{ \hat{L}_k^\dagger \hat{L}_k, \hat{\rho} \} \right), $$

где L̂k — операторы Линдблада, описывающие взаимодействие с внешней средой.

Связь с экспериментальной физикой ускорителей

В ускорителях частицы описываются не единичными состояниями, а ансамблем, в котором учитываются:

  • распределения по энергиям, импульсам и пространственным координатам;
  • спиновые степени свободы (важно для поляризованных пучков);
  • когерентные и некогерентные процессы взаимодействия.

Использование матрицы плотности позволяет ввести универсальные методы анализа.

Пример: описание спиновой динамики Для спин-$\tfrac{1}{2}$ частиц матрица плотности может быть представлена через матрицу Паули:

$$ \hat{\rho} = \frac{1}{2}\left( \hat{I} + \vec{P}\cdot \vec{\sigma} \right), $$

где P⃗ — вектор поляризации пучка. Тогда величина |P⃗| отражает степень поляризации:

  • |P⃗| = 1 — полностью поляризованный пучок,
  • |P⃗| < 1 — частично поляризованный.

Эволюция спина в магнитных полях ускорителя описывается уравнением Томаса–БМТ, а в терминах матрицы плотности учитываются не только средние значения, но и статистическое распределение поляризации в ансамбле.

Трассировка по степеням свободы

Одним из ключевых инструментов формализма является частичная трассировка, позволяющая получать редуцированные матрицы плотности при игнорировании некоторых степеней свободы.

Пример: если частица обладает как орбитальными, так и спиновыми степенями свободы, но детекторы измеряют только спин, то интересующая нас матрица плотности получается как

ρ̂спин = Trорбρ̂.

Это имеет большое значение в ускорительной физике, где часто доступна лишь часть информации о состоянии пучка.

Энтропия и когерентность

Смешанность состояния может быть количественно охарактеризована через энтропию фон Неймана:

S(ρ̂) = −Tr(ρ̂ln ρ̂).

Энтропия служит мерой потери когерентности и информации о состоянии системы. Для чистого состояния S = 0, для полностью смешанного S достигает максимума.

В ускорителях это соответствует утрате когерентности пучка, что проявляется в увеличении его эмиттанса и снижении степени поляризации.

Практическое применение формализма

  • Описание декогеренции пучков при прохождении через магнитные элементы или взаимодействии с остаточным газом.
  • Анализ поляризационных явлений в экспериментах на коллайдерах.
  • Оптимизация транспортировки пучка, учитывающая статистическую природу ансамбля.
  • Интерпретация квантовых флуктуаций излучения, например, при генерации синхротронного ионов или при лазерах на свободных электронах.

Таким образом, формализм матрицы плотности является универсальным инструментом, позволяющим объединить квантовомеханическое и статистическое описание динамики частиц в ускорителях.

Оглавление