Хроматичность в физике ускорителей описывает зависимость частоты бетатронных колебаний частиц от их отклонений по энергии. Формально, хроматичность ξ определяется как относительное изменение фазового числа бетатронных колебаний ν при относительном изменении энергии частицы $\delta = \frac{\Delta p}{p}$:
$$ \xi = \frac{\Delta \nu}{\delta}. $$
Существует натуральная (естественная) хроматичность, возникающая из структуры магнитной системы ускорителя, и исправленная хроматичность, которая учитывает воздействие корректирующих магнитов.
Натуральная хроматичность обычно отрицательна для протонных и электронных колец и ограничивает диапазон стабильных частотных колебаний. Это связано с тем, что частицы с более высокой энергией проходят через квадрупольные фокусирующие магниты с меньшей силой, уменьшая их фокусировку.
Хроматичность возникает из-за зависимости фокусирующей силы магнитных элементов от отклонения импульса частицы. Для квадрупольного магнита сила фокусировки k зависит от момента импульса:
$$ k(p) = k_0 \frac{p_0}{p} \approx k_0 (1 - \delta), $$
где k0 — фокусировка для синхронной частицы, p0 — синхронный импульс.
Это приводит к изменению фазового числа:
$$ \Delta \nu = - \frac{1}{4\pi} \oint \beta(s) k(s) ds \, \delta, $$
где β(s) — функция амплитуды вдоль орбиты.
Ключевой момент: частицы с различными энергиями имеют разные частоты бетатронных колебаний, что может привести к резонансным явлениям и нестабильности пучка.
Натуральная хроматичность определяется через интеграл по всей замкнутой орбите ускорителя:
$$ \xi_\text{нат} = - \frac{1}{4\pi} \oint k(s) \beta(s) ds, $$
где k(s) — фокусирующая сила квадруполя, β(s) — функция амплитуды.
Для системы с последовательными фокусирующими и дефокусирующими квадруполями в стандартной ячейке FODO:
$$ \xi_\text{нат} \approx - \frac{1}{4\pi} \sum_\text{квадруполи} k_i L_i \beta_i, $$
где Li — длина квадруполя, βi — функция амплитуды в точке установки магнита.
Примечание: чем длиннее и сильнее квадруполь, тем больше его вклад в хроматичность.
Резонансные эффекты: Частицы с различной энергией проходят через разные резонансные условия. Высокая отрицательная хроматичность может привести к попаданию частицы в резонансы низкого порядка, вызывая потерю стабильности.
Фокусировка пучка: Из-за хроматичности увеличивается разброс фазовых траекторий, что приводит к росту поперечного размера пучка (дифференциальное «растягивание» бета-функций).
Ограничение диапазона энергии: Высокая естественная хроматичность ограничивает приемлемый диапазон отклонений по энергии, особенно критично для электронных колец.
Для управления хроматичностью применяются секступольные магниты, устанавливаемые в местах с ненулевой дисперсией.
Принцип действия:
$$ B_y = \frac{1}{2} B'' x^2, \quad B_x = B'' x y, $$
где B″ — градиент секступоля, x, y — координаты частицы.
Δkсекст = k″D(s)δ.
$$ \xi_\text{исправ} = \xi_\text{нат} + \sum_\text{секст} \frac{1}{4\pi} \beta(s) k'' D(s) L_s. $$
Ключевой момент: правильная настройка секступолей позволяет полностью компенсировать отрицательную хроматичность и стабилизировать пучок.
Расположение секступолей: Наиболее эффективны секступоли, размещенные в точках с большой дисперсией и умеренной β-функцией.
Баланс хроматичности и динамической стабильности: Полная коррекция хроматичности часто приводит к уменьшению динамического диапазона устойчивости. Поэтому обычно выбирается компромисс между уменьшением хроматичности и сохранением стабильной области фазового пространства.
Использование двух типов секступолей:
Для экспериментальной оценки хроматичности применяются методы: