Кулоновское взаимодействие является фундаментальным фактором, влияющим на динамику пучка заряженных частиц в ускорителях. Его учет необходим как при проектировании систем хранения и ускорения, так и при анализе устойчивости пучков высокой интенсивности.
Заряженные частицы создают вокруг себя электрическое поле. Для частицы с зарядом q и скоростью v ≪ c в лабораторной системе справедливо выражение кулоновского поля:
$$ \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q \vec{r}}{r^3}, $$
где r⃗ — вектор от наблюдаемой точки до частицы, ε0 — диэлектрическая постоянная. Для релятивистских частиц (v ∼ c) поле и взаимодействие значительно искажаются, и требуется учитывать Лоренцево преобразование.
В пучке, содержащем N частиц, суммарное поле в точке r⃗ определяется суперпозицией индивидуальных полей:
$$ \vec{E}_{\text{пучок}}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{N} \vec{E}_i(\vec{r} - \vec{r}_i), $$
где r⃗i — координаты i-й частицы.
Для упрощенного анализа часто вводят среднюю плотность заряда ρ(r⃗), что позволяет использовать приближение непрерывного распределения. Наиболее часто рассматриваются пучки с гауссовым распределением в поперечном сечении:
$$ \rho(x,y) = \frac{Q}{2\pi \sigma_x \sigma_y} \exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma_x^2} - \frac{y^2}{2\sigma_y^2}\right], $$
где Q — полный заряд пучка, σx, σy — стандартные отклонения распределения в поперечных направлениях. Вдоль оси пучка распределение также может быть гауссовым или равномерным в зависимости от типа ускорителя.
Кулоновское отталкивание между частицами приводит к нескольким важным эффектам:
Разбухание пучка (space-charge effect) Электростатическое отталкивание увеличивает поперечные размеры пучка и может приводить к росту эмиттанса ε, что снижает качество пучка и ограничивает плотность заряда.
Сдвиг частоты бетатронных колебаний (tune shift) Для круговых ускорителей кулоновские силы вызывают изменение эффективной фокусировки магнита. Бетатронная частота ν смещается на величину:
$$ \Delta \nu = - \frac{r_0 c N}{4\pi \beta^2 \gamma^3 \varepsilon_N}, $$
где r0 — классический радиус частицы, β = v/c, γ — фактор Лоренца, εN — нормализованная эмиттанса. Отрицательный сдвиг может привести к резонансным эффектам и потере частиц.
Индуцированное возбуждение длинных пучковых колебаний Различие потенциалов вдоль длины пучка вызывает ускорение и замедление отдельных частиц, что приводит к эффектам продольного разрежения и к формированию микроструктур в плотности пучка.
Для упрощенного анализа вводят модели однородного цилиндрического пучка радиусом R с постоянной плотностью заряда ρ. Электрическое поле на радиусе r < R выражается как:
$$ E_r = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}. $$
Такое приближение позволяет аналитически оценивать силу отталкивания на частицу и скорость раздувания пучка. Для радиуса r > R поле спадает как 1/r, аналогично точечному заряду Q.
Для частиц с высокой энергией (γ ≫ 1) кулоновское взаимодействие в поперечной плоскости уменьшается из-за Лоренцевого сжатия поля в продольном направлении. В этом случае сила отталкивания в поперечной плоскости уменьшается примерно на фактор γ2, что позволяет пучкам высоких энергий достигать гораздо большей плотности без разрушения структуры.
Оптимизация поперечной фокусировки Применение сильной фокусировки с корректно подобранной конфигурацией квадруполей снижает чувствительность пучка к эффектам space charge.
Разрежение пучка Увеличение поперечных размеров или длины пучка уменьшает плотность заряда и силу кулоновского отталкивания.
Использование ускорителей высокой энергии С ростом γ влияние кулоновских сил уменьшается, что особенно важно для синхротронов и коллайдеров.
Активная компенсация полей В некоторых системах применяются электро- или магнитооптические методы коррекции локальных возмущений, создаваемых пучком.