Квадрупольные магниты представляют собой основной инструмент управления пучками частиц в ускорителях. Они обеспечивают фокусировку пучка, что необходимо для поддержания стабильного движения частиц в кольцевых и линейных структурах ускорителей. В отличие от дипольных магнитов, которые отклоняют пучок, квадруполи создают линейное магнитное поле, усиливающееся от центра к краям, что приводит к фокусировке пучка в одной плоскости и дефокусировке в перпендикулярной. Для обеспечения симметричной фокусировки часто применяют последовательность FODO (фокусирующий — отводящий — фокусирующий — отводящий) магнитов.
Ключевое свойство квадруполя: линейная зависимость силы поля от координаты. Если обозначить поперечные координаты частицы как x и y, то магнитное поле в идеальном квадруполе задается формулами:
Bx = G ⋅ y, By = G ⋅ x
где G — градиент магнитного поля, измеряемый в Тл/м. Центр квадруполя не создает силы на пучок (Bx = By = 0), а отклонение от центра приводит к силе, направленной к или от оси, в зависимости от ориентации квадруполя.
Квадрупольные магниты могут быть сверхпроводящими и обычными электромагнитами. Они состоят из четырех полюсов, расположенных симметрично вокруг оси пучка. Полюса имеют определённую форму, позволяющую минимизировать высшие гармоники поля, которые могут вызывать нежелательные резонансы и ухудшение качества пучка.
Основные типы квадрупольных магнитов:
Движение частицы в квадрупольном поле описывается уравнениями Гилберта–Хилла, которые сводятся к уравнениям гармонического осциллятора с положительной или отрицательной “жёсткостью”:
$$ \frac{d^2x}{ds^2} + k(s)x = 0, \quad \frac{d^2y}{ds^2} - k(s)y = 0 $$
где s — продольная координата вдоль пучка, $k(s) = \frac{q G(s)}{p}$, q — заряд частицы, p — её импульс. Таким образом, квадруполь фокусирует пучок в одной плоскости и дефокусирует в другой. Последовательная чередующаяся установка фокусирующих и дефокусирующих квадруполей обеспечивает двухплоскостную устойчивую фокусировку, что лежит в основе схем FODO и FOFDOD.
Для оптимальной работы ускорителя градиент магнитного поля должен быть тщательно подобран. Основные критерии:
$$ f = \frac{1}{G L/q B\rho} $$
где L — длина магнита, Bρ — магнитная жёсткость пучка.
Линейность поля: критична для предотвращения нелинейных резонансов, которые могут приводить к потере частиц из пучка.
Допустимые высшие гармоники: отклонение от идеального квадрупольного поля ограничивает динамический апертур ускорителя.
Высшие гармоники часто минимизируются с помощью корректирующих катушек и оптимальной формы полюсов.
Квадрупольные магниты определяют бетатронные колебания — периодические поперечные колебания частиц вокруг идеальной орбиты. Параметры квадруполя влияют на бетатронную функцию β(s) и фазовый угол ϕ(s), а значит, напрямую на размер пучка и его распределение.
Для линейной аппроксимации размер пучка выражается через эмиттанс ε:
$$ \sigma(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)} $$
Умелое размещение квадрупольных магнитов позволяет поддерживать β(s) в допустимых пределах, минимизируя потери частиц и обеспечивая требуемую плотность пучка.
При проектировании квадрупольных магнитов учитываются следующие факторы:
Особое внимание уделяется выравниванию магнита, так как точность на уровне сотых миллиметра критична для стабильного движения пучка.