Матрицы представляют собой мощный инструмент для анализа линейной динамики частиц в ускорителях. Они позволяют компактно описывать перемещения и изменения параметров пучка в пространстве и во времени, учитывая воздействие элементов оптической системы, таких как диполи, квадруполи, секступоли, ускоряющие структуры и др.
Для описания движения частицы в ускорителе удобно использовать фазовое пространство, определяемое координатами и импульсами:
$$ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ x' \\ y \\ y' \\ z \\ \delta \end{pmatrix} $$
где:
Для линейной аппроксимации динамики пучка все элементы системы могут быть представлены через линейные матрицы трансферта R, такие что:
Xвыход = R ⋅ Xвход.
Для участка длиной L, где отсутствуют магнитные поля и силы, матрица трансфера имеет вид (в горизонтальной плоскости):
$$ R_\text{drift} = \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Аналогично для вертикальной плоскости. Этот элемент показывает, что координата меняется линейно с угловым отклонением, а угловая скорость сохраняется.
Квадруполь фокусирует пучок в одной плоскости и дефокусирует в другой. Матрица для фокусирующего квадруполя длиной L и фокусным расстоянием f в горизонтальной плоскости:
$$ R_\text{quad} = \begin{pmatrix} \cos(kL) & \frac{1}{k}\sin(kL) \\ - k \sin(kL) & \cos(kL) \end{pmatrix}, \quad k = \frac{1}{f}. $$
Для вертикальной плоскости знак меняется на противоположный. Таким образом, квадруполь создает симметричное преобразование, позволяющее фокусировать пучок.
Диполь отклоняет пучок, создавая радиус кривизны ρ. Линейная матрица горизонтальной плоскости с учетом отклонения на угол θ = L/ρ:
$$ R_\text{dipole} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \rho \sin\theta \\ - \frac{1}{\rho} \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. $$
Вертикальная плоскость для идеального плоского диполя — единичная матрица.
Для последовательности линейных элементов E1, E2, ..., En общая матрица трансфера определяется произведением матриц отдельных элементов:
Rtotal = Rn ⋅ Rn − 1 ⋅ … ⋅ R1.
Эта композиция позволяет анализировать сложные магнитооптические системы, включая кольцевые ускорители, транспортные линии и секции фокусировки.
Ключевой момент: порядок умножения имеет критическое значение, так как матрицы не коммутируют: Ri ⋅ Rj ≠ Rj ⋅ Ri.
Оптические свойства пучка часто описываются матрицей ковариации Σ, включающей размеры и угловые распределения частиц:
$$ \Sigma = \begin{pmatrix} \langle x^2 \rangle & \langle x x' \rangle \\ \langle x x' \rangle & \langle x'^2 \rangle \end{pmatrix}. $$
При прохождении через линейный элемент:
Σвыход = R ⋅ Σвход ⋅ RT.
Сохраняется диагонализируемое свойство — так называемая эмиттанс ε, мера площади фазового пространства:
$$ \varepsilon = \sqrt{\det \Sigma} = \text{const} \quad (\text{линейная бездиссипативная система}). $$
Для кольцевого ускорителя или периодической линии матрица трансфера одной ячейки M удовлетворяет условию:
M ⋅ v = eiμv,
где μ — фазовый сдвиг (phase advance) ячейки, а v — собственный вектор. Фазовый сдвиг напрямую связан с бетатронной функцией β(s) и угловой частотой колебаний:
$$ x(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)} \cos(\psi(s) + \phi_0), \quad \psi(s) = \int_0^s \frac{ds}{\beta(s)}. $$
Таким образом, анализ собственных значений матрицы позволяет предсказывать стабильность движения пучка и возможные резонансы.
Для большинства ускорителей линейные элементы допускают раздельное рассмотрение горизонтальной и вертикальной плоскостей:
$$ R_\text{6D} = \begin{pmatrix} R_x & 0 & 0 \\ 0 & R_y & 0 \\ 0 & 0 & R_z \end{pmatrix}. $$
Поперечные и продольные колебания могут быть декоррелированы, что упрощает анализ и проектирование оптической линии. Корреляции между плоскостями могут появляться в системах с высокими порядками мультиполей или с сильно несферическими элементами.