Оптические функции и их свойства

В физике ускорителей оптические функции являются ключевыми инструментами для описания динамики пучка частиц в магнитной системе. Они позволяют описывать распределение частиц в фазовом пространстве и обеспечивают понимание таких характеристик, как размеры пучка, его фокусировка, устойчивость и поведение при прохождении через сложные магнитные элементы.

Оптические функции возникают из решения уравнений движения частиц, обычно в линейной приближении, когда отклонения от идеальной орбиты малы. Основная форма решения для одной поперечной координаты x(s) представляется как:

$$ x(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)} \cos\left(\psi(s) + \phi_0\right), $$

где:

  • ε — эмиттанс пучка, характеризующий его «разброс» в фазовом пространстве;
  • β(s) — функция бета, определяющая амплитуду колебаний;
  • ψ(s) — фазовая функция (или фаза бетатронного колебания);
  • ϕ0 — начальная фаза колебания.

Основные оптические функции

Существуют несколько ключевых оптических функций, которые полностью описывают линейную оптику ускорителя:

  1. Функция бета β(s)

    • Определяет размер пучка в данной точке системы.
    • Связана с физическим радиусом колебаний частиц: чем больше β(s), тем шире пучок.
    • Часто визуализируется как «бета-волна» вдоль кольца или линейного ускорителя.

  2. Альфа-функция α(s)

    • Определяет наклон фазовой траектории в фазовом пространстве.

    • Связана с производной бета-функции:

      $$ \alpha(s) = -\frac{1}{2} \frac{d\beta(s)}{ds}. $$

    • Определяет, как меняется размер пучка вдоль ускорителя.

  3. Гамма-функция γ(s)

    • Связана с бета и альфа-функциями:

      $$ \gamma(s) = \frac{1 + \alpha(s)^2}{\beta(s)}. $$

    • Используется для вычисления отклонений по угловой компоненте фазового пространства.

Связь с фазовым пространством

Фазовое пространство для одной координаты x определяется координатой и угловой составляющей x′: (x, x′). Уравнение эллипса в фазовом пространстве имеет вид:

γ(s)x2 + 2α(s)xx′ + β(s)x′2 = ε.

Ключевые моменты:

  • Эмиттанс ε остается постоянным при линейной идеальной оптике.
  • Эллипс фазового пространства вращается и меняет форму вдоль ускорителя в зависимости от β(s) и α(s).
  • Этот эллипс является геометрическим представлением «состояния» пучка.

Свойства оптических функций

  1. Периодичность

    • В кольцевых ускорителях оптические функции периодичны с длиной кольца L.
    • Формула: β(s + L) = β(s).
    • Периодичность позволяет использовать матрицу переноса, которая связывает координаты частиц на разных участках.

  2. Симметрия

    • В идеальных системах с симметричными магнитными ячейками функции часто симметричны относительно центров ячеек.
    • Это упрощает проектирование и расчет устойчивости пучка.

  3. Зависимость от элементов ускорителя

    • Магниты типа квадруполей определяют локальное распределение β(s).
    • Фокусирующие квадруполи уменьшают β(s), дефокусирующие — увеличивают.

  4. Инвариантность эмиттанса

    • При отсутствии нелинейностей и диссипативных процессов интеграл по фазовому эллипсу остаётся постоянным.
    • Позволяет оценивать качество фокусировки пучка.

Использование оптических функций

Оптические функции являются фундаментальным инструментом для:

  • Проектирования ускорителей: подбор длины магнитных секций и их фокусирующих свойств.
  • Расчета размеров пучка: особенно важно для коллайдеров и синхротронных источников.
  • Анализа устойчивости пучка: понимание, где возникают резонансы и как минимизировать потери частиц.
  • Коррекции хроматичности и нелинейных эффектов: оптические функции используются для оптимизации схем коррекции.

Взаимосвязь оптических функций

Для одной координаты взаимосвязь между функциями выражается через производные:

$$ \frac{d\beta}{ds} = -2 \alpha(s), \quad \frac{d\alpha}{ds} = \gamma(s) - k(s) \beta(s), $$

где k(s) — функция фокусирующей силы квадруполя. Эти уравнения позволяют вычислять распределение оптических функций вдоль всего ускорителя, что является основой синхротронной и линейной оптики.

Оглавление