Пространственный заряд

Пространственный заряд — это совокупность заряженных частиц, распределённых в объёме, чьи электрические поля существенно влияют на динамику пучка. В ускорителях частиц его влияние особенно заметно для интенсивных пучков малой энергии, где кулоновские взаимодействия между частицами приводят к изменению формы, размера и стабильности пучка.

Пространственный заряд определяет самофокусировку и разброс пучка, а также может вызывать инстабильности, которые критически влияют на эффективность ускорителя.

Потенциал и плотность пространственного заряда

Для описания пространственного заряда используется электростатический потенциал ϕ(r), который удовлетворяет уравнению Пуассона:

$$ \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}, $$

где ρ(r) — плотность заряда в точке r, ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Плотность заряда ρ(r) определяется как:

ρ(r) = q ⋅ n(r),

где q — заряд одной частицы, n(r) — локальная концентрация частиц.

Для симметричных пучков, например цилиндрических, часто используют приближение однородной плотности в поперечном сечении, что позволяет аналитически описать электрическое поле:

$$ E_r(r) = \frac{\rho_0 r}{2 \varepsilon_0}, \quad r \le R, $$

где R — радиус пучка. Это поле приводит к расширению пучка, называемому эффектом пространственного заряда.

Воздействие на динамику пучка

Пространственный заряд проявляется через силы, действующие между частицами пучка, которые могут быть разложены на:

  1. Поперечные силы — вызывают разлет пучка в радиальном направлении, уменьшая фокусировку.
  2. Продольные силы — приводят к изменению распределения энергии и продольного размера пучка.

В приближении гладкого пучка радиальные силы описываются через уравнение:

$$ \frac{d^2 r}{dz^2} + k^2 r = \frac{q \rho_0}{2 \pi \varepsilon_0 \beta^2 \gamma^3 m c^2} r, $$

где k — коэффициент внешней фокусировки, β = v/c, $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$, m — масса частицы, c — скорость света.

Ключевой момент: силы пространственного заряда ослабляются с ростом энергии пучка из-за фактора γ3, что объясняет, почему пространственный заряд критичен на низких энергиях и почти не влияет на высокоэнергетические пучки.

Интенсивность пучка и пределы пространственного заряда

Для оценки влияния пространственного заряда вводят параметр перетягивания (tune shift) ΔQ:

$$ \Delta Q = \frac{r_0 N}{4 \pi \beta^2 \gamma^3 \varepsilon_N}, $$

где r0 — классический радиус частицы, N — число частиц в пучке, εN — нормированная эмиттанс.

Этот параметр характеризует изменение частот колебаний частиц под воздействием собственного поля пучка. Если ΔQ становится слишком большим, возникает риск колебательных и резонансных нестабильностей, что ограничивает максимальную плотность пучка.

Методы компенсации пространственного заряда

Для работы с интенсивными пучками применяются различные методы уменьшения эффектов пространственного заряда:

  1. Фокусировка с помощью магнитных линз — увеличение внешней силы фокусировки снижает радиальное расширение.
  2. Увеличение энергии пучка — снижение воздействия сил пространственного заряда за счет увеличения γ.
  3. Оптимизация формы пучка — распределение плотности так, чтобы минимизировать локальные пиковые поля.
  4. Использование компенсации плазмой — введение электронного облака для нейтрализации положительного заряда и снижения кулоновских сил.

Влияние на стабильность и потери пучка

Эффекты пространственного заряда оказывают прямое влияние на:

  • Поперечную устойчивость пучка, вызывая рост эмиттанса.
  • Продольное распределение, приводя к изменению времени пролёта частиц.
  • Интенсивность и прозрачность пучка, поскольку высокие локальные поля могут вызывать выбросы частиц на коллиматоры.

Особое внимание уделяется низкоэнергетическим кольцевым накопителям и линейным ускорителям, где пространство заряда является ограничивающим фактором максимальной интенсивности пучка.

Оглавление