Релятивистская динамика частиц

Релятивистская динамика описывает движение частиц, скорости которых сравнимы со скоростью света c. В этой области классическая механика заменяется релятивистской, поскольку при больших скоростях масса частицы фактически возрастает, а время и длина становятся зависимыми от системы отсчёта.

Ключевое уравнение релятивистской динамики вытекает из релятивистской энергии и импульса. Полная энергия частицы массой m и скоростью v⃗ выражается как:

$$ E = \gamma m c^2, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

где γ — фактор Лоренца. Релятивистский импульс p⃗ связан с массой и скоростью через:

p⃗ = γmv⃗.

Отсюда следует фундаментальное соотношение между энергией и импульсом:

E2 = (pc)2 + (mc2)2.

Это уравнение является основой для анализа движения ускоренных частиц.

Релятивистская сила и уравнение движения

Релятивистское обобщение второго закона Ньютона имеет вид:

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}, $$

где p⃗ = γmv⃗. В отличие от классического случая, масса частицы теперь зависит от скорости, и сила F⃗ вызывает не просто ускорение, а изменение релятивистского импульса. В компонентной форме:

$$ \vec{F} = \gamma m \frac{d\vec{v}}{dt} + m \vec{v} \frac{d\gamma}{dt}. $$

Здесь первый член соответствует классическому ускорению, а второй — релятивистскому эффекту «возрастающей массы».

Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Для частицы с зарядом q в электрическом E⃗ и магнитном B⃗ полях сила выражается через релятивистскую силу Лоренца:

$$ \frac{d}{dt}(\gamma m \vec{v}) = q \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right). $$

Особенности релятивистского движения включают:

  • Скорость частицы никогда не превышает c, независимо от силы поля.
  • При больших скоростях ускорение вдоль направления движения уменьшается из-за возрастания γ.
  • Поступательное и поперечное ускорения отличаются по величине: поперечное ускорение уменьшается как 1/γ, а продольное — как 1/γ3.

Эти эффекты критически важны для синхротронов и коллайдеров, где частицы движутся на релятивистских скоростях.

Релятивистская кинематика столкновений

В ускорительной физике особенно важны релятивистские столкновения частиц. Рассмотрим столкновение двух частиц с массами m1 и m2. Основные законы — это сохранение релятивистской энергии и импульса:

$$ \begin{cases} E_1 + E_2 = E_1' + E_2' \\ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2' \end{cases} $$

При анализе часто используют систему центра масс, где общий импульс равен нулю. В этой системе выражение для энергии частиц упрощается:

$$ E^* = \sqrt{(E_1 + E_2)^2 - (\vec{p}_1 + \vec{p}_2)^2 c^2}. $$

Примеры применения:

  • Определение энергии продуктов столкновения в ускорителях.
  • Расчёт пороговых энергий для рождения новых частиц.
  • Анализ дифракционных процессов на релятивистских скоростях.

Лоренцевы преобразования и релятивистская динамика

Релятивистское движение частиц тесно связано с преобразованиями Лоренца, которые связывают координаты и времена в разных инерциальных системах:

$$ \begin{cases} x' = \gamma (x - v t) \\ t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^2}\right) \end{cases} $$

Импульс и энергия также трансформируются аналогично:

$$ \begin{cases} p_x' = \gamma (p_x - \frac{v E}{c^2}) \\ E' = \gamma (E - v p_x) \end{cases} $$

Это позволяет корректно рассчитывать взаимодействия частиц в различных системах отсчёта и является основой для проектирования ускорителей и анализа экспериментов на коллайдерах.

Релятивистская масса и инварианты

Хотя сегодня чаще говорят о релятивистской энергии и импульсе, для понимания динамики полезно определить «релятивистскую массу»:

mр = γm.

Ключевой инвариант:

E2 − (pc)2 = (mc2)2

не зависит от системы отсчёта и обеспечивает строгую проверку законов сохранения. Этот инвариант используется при расчётах:

  • пороговых реакций;
  • кинематических границ распадов частиц;
  • синхротронного излучения.
Оглавление