Теория возмущений в нейтринной физике

В нейтринной физике теория возмущений используется для описания процессов осцилляций нейтрино, взаимодействий в веществе, а также влияния слабых поправок на массы и матричные элементы смешивания. Поскольку динамика нейтрино определяется гамильтонианом, содержащим как диагональные, так и недиагональные элементы, точное решение уравнений эволюции часто невозможно. В таких случаях применяется возмущённый подход, позволяющий рассматривать сложную задачу как отклонение от более простой и решаемой модели.

Общая структура гамильтониана

Гамильтониан эволюции нейтрино в базисе массовых состояний можно представить в виде

H = H₀ + H′,

где

H₀ — невозмущённая часть, описывающая свободную эволюцию нейтрино с массами m_i,
H′ — возмущение, возникающее из-за взаимодействия с веществом (эффект Михеева–Смирнова–Вольфенштейна, MSW), а также из-за возможных нелокальных или новых физических процессов.

В базисе ароматных состояний гамильтониан выражается через матрицу смешивания U:

$$ H_f = U \frac{1}{2E} \text{diag}(m_1^2, m_2^2, m_3^2) U^\dagger + V, $$

где V — оператор потенциала взаимодействия нейтрино с веществом.

Возмущения в осцилляциях нейтрино

Рассмотрим двухуровневую систему для наглядности. Уравнение Шрёдингера имеет вид

$$ i \frac{d}{dx} \Psi(x) = H \Psi(x). $$

Если гамильтониан раскладывается как H = H₀ + H′, то решение можно искать в виде

Ψ(x) = e^−iH₀x Ω(x)Ψ(0),

где оператор Ω(x) подчиняется уравнению

$$ i \frac{d}{dx}\Omega(x) = H'_I(x) \Omega(x), $$

с гамильтонианом возмущений в картине взаимодействия

H′_I(x) = e^iH₀xH′e^−iH₀x.

Решение этого уравнения выражается через ряда Дайсона, что позволяет записать эволюционный оператор в виде разложения по степеням малости возмущения:

Ω(x) = 1 − i∫₀^xH′_I(x₁) dx₁ − ∫₀^x∫₀^x₁H′_I(x₁)H′_I(x₂) dx₂dx₁ + …

Таким образом, вероятность перехода между ароматными состояниями может быть вычислена через поправки первого, второго и более высоких порядков.

Применение теории возмущений к эффекту MSW

В условиях прохождения нейтрино через вещество Земли или Солнца потенциал V играет роль возмущения. Для электронных нейтрино добавляется член

$$ V = \sqrt{2} G_F N_e \, \text{diag}(1,0,0), $$

где G_F — константа Ферми, а N_e — электронная плотность среды.

Если величина V мала по сравнению с Δm²/2E, теория возмущений позволяет аналитически вычислить поправки к вакуумным вероятностям осцилляций. Для случая двух поколений вероятность перехода принимает вид

$$ P(\nu_e \to \nu_\mu) \approx \sin^2(2\theta) \sin^2\left(\frac{\Delta m^2 L}{4E}\right) + \delta P, $$

где поправка δP выражается через V и расстояние распространения L.

Высшие порядки возмущений

Во многих случаях одной поправки первого порядка недостаточно. Например:

При прохождении через плотные области (внутренние зоны Солнца) нейтрино испытывают резонансное усиление (эффект MSW-резонанса), и возмущённое разложение требует учёта нескольких порядков.
В трёхфлейворной картине с ненулевым углом смешивания θ₁₃ возмущения второго порядка дают заметный вклад, особенно при энергии порядка GeV.

Разложения по малым параметрам, таким как α = Δm₂₁²/Δm₃₁² или малая величина sin θ₁₃, широко используются для аналитических приближений.

Возмущения от новой физики

Помимо стандартных взаимодействий, возможны дополнительные источники возмущений:

Нестандартные взаимодействия (NSI) — модификации потенциала V, включающие недиагональные члены. В этом случае гамильтониан приобретает форму

$$ V_{NSI} = \sqrt{2} G_F N_e \begin{pmatrix} 1 + \epsilon_{ee} & \epsilon_{e\mu} & \epsilon_{e\tau} \\ \epsilon_{\mu e} & \epsilon_{\mu\mu} & \epsilon_{\mu\tau} \\ \epsilon_{\tau e} & \epsilon_{\tau\mu} & \epsilon_{\tau\tau} \end{pmatrix}, $$

где параметры ϵ_αβ малы и трактуются как возмущения.

Квантовые поправки — петлевые эффекты в рамках Стандартной модели или её расширений.
Нарушение CPT или Лоренц-инвариантности — вносят асимметричные возмущения, которые также поддаются описанию через разложение.

Роль возмущений в численных расчётах

Даже если аналитические методы не дают замкнутых формул, теория возмущений используется для:

построения начальных приближений для численных интеграторов уравнений эволюции,
оценки влияния параметров на наблюдаемые вероятности,
выделения ведущих вкладов, которые существенно упрощают вычисления.

Особенно важен этот подход в экспериментах с длиннобазовыми нейтринными пучками, где комбинация малых параметров (θ₁₃, Δm₂₁²) и плотности вещества Земли приводит к сложной структуре осцилляционных картин.