Движение заряженной частицы в ускорителе определяется действием электромагнитных полей. Основным уравнением, описывающим это движение, является уравнение Лоренца:
F⃗ = q(E⃗ + v⃗ × B⃗),
где q — заряд частицы, v⃗ — её скорость, E⃗ и B⃗ — электрическое и магнитное поля соответственно. Сила Лоренца определяет ускорение частицы:
$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}), $$
где m — масса частицы. Для релятивистских скоростей уравнение модифицируется с использованием релятивистской массы γm, где $\gamma = 1/\sqrt{1-(v^2/c^2)}$.
В ускорителях частицы движутся в основном в направлении, близком к оси ускорителя, что позволяет упростить уравнения движения, используя параметры поперечной и продольной динамики.
Продольная динамика описывает изменение энергии и фазового положения частицы относительно синхронизирующего поля. Энергия частицы в электростатическом и ВЧ-ускоряющем поле изменяется по формуле:
$$ \frac{dE}{dt} = q \vec{v} \cdot \vec{E}. $$
Для синхротронов или линейных ускорителей с ВЧ полями это уравнение связывает фазовую координату ϕ и относительное изменение энергии $\delta = \frac{\Delta E}{E_0}$, приводя к системе:
$$ \frac{d\phi}{dt} = \omega - \omega_s, \quad \frac{d\delta}{dt} = \frac{qV(\phi)}{E_0}, $$
где V(ϕ) — ускоряющее напряжение, ωs — синхронизирующая частота.
Поперечная динамика связана с отклонениями от идеальной траектории. Пусть x и y — поперечные координаты, тогда уравнения движения для линейной аппроксимации (малые отклонения) имеют вид:
x″ + Kx(s)x = 0, y″ + Ky(s)y = 0,
где Kx, y(s) — фокусирующие коэффициенты, зависящие от распределения квадрупольных магнитов вдоль оси s.
Для релятивистских частиц важно учитывать зависимость массы от скорости. Уравнение Лоренца в релятивистской форме записывается как:
$$ \frac{d(\gamma m \vec{v})}{dt} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}). $$
Здесь:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}. $$
При высоких энергиях ускорителей (v → c) продольное ускорение требует всё больше энергии, в то время как поперечные отклонения остаются малозначимыми, что позволяет применять приближение “параболической траектории” в сечении ускорителя.
Для анализа стабильности движения вводятся линеаризованные уравнения гармонических колебаний в продольной и поперечной плоскостях:
$$ x(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)} \cos\big(\psi(s) + \psi_0\big), $$
где ε — эмиттанс, β(s) — функция бета, ψ(s) — фазовый аргумент. Аналогично для y(s).
δE(t) = ΔEmaxcos (Ωst + ϕ0), ϕ(t) = ϕs + ϕmaxsin (Ωst + ϕ0),
где Ωs — синхротронная частота колебаний, ϕs — синхротронная фаза.
Эти колебания определяют размер пучка и его динамическую стабильность.
В реальных ускорителях присутствуют мультипольные компоненты магнитного поля (секступоли, октуполи и выше), которые приводят к нелинейным отклонениям. Уравнения движения при этом записываются как:
x″ + Kx(s)x + ∑n ≥ 2kn(s)xn = 0,
где kn(s) — коэффициенты соответствующих мультипольных полей. Эти члены важны для анализа резонансов и долгосрочной стабильности пучка.
$$ \begin{cases} x'' + K_x(s) x = \frac{1}{\rho(s)} \delta,\\ y'' + K_y(s) y = 0,\\ \frac{d\delta}{dt} = \frac{qV(\phi)}{E_0},\\ \frac{d\phi}{dt} = \omega - \omega_s, \end{cases} $$
где ρ(s) — радиус кривизны в секции дипольного магнита.
Эти параметры используются для проектирования фокусирующих систем, корректоров поля и для оптимизации стабильности пучка.