Неустойчивость Рэлея-Тейлора

Физическая суть и формулировка проблемы

Неустойчивость Рэлея-Тейлора возникает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (или газов) с разной плотностью, когда более тяжёлая жидкость расположена над более лёгкой в поле силы тяжести или при наличии ускорения, направленного от лёгкой жидкости к тяжёлой.

Это явление ведёт к развитию возмущений и искажению плоской границы раздела, что со временем приводит к образованию сложных структур: “шпилей”, “петель”, “капель”.

Математическое описание

Рассмотрим двумерные малые возмущения интерфейса с амплитудой η(x, t) в системе двух жидкостей с плотностями ρ₁ (нижняя жидкость) и ρ₂ (верхняя жидкость). При условии ρ₂ > ρ₁ и наличии ускорения g вниз, возмущения растут экспоненциально со скоростью роста γ, определяемой уравнением:

$$ \gamma = \sqrt{g k \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2 + \rho_1}} $$

где

• k — волновое число возмущения (обратное длине волны),
• g — ускорение (гравитация или инерционное).

Рост возмущений приводит к формированию вытянутых «шпилей» тяжёлой жидкости, врезающихся в лёгкую, и «петель» лёгкой жидкости, проникающих в тяжёлую.

Условия возникновения

• Наличие интерфейса между двумя средами с разной плотностью.
• Ускорение или сила, направленная от лёгкой к тяжёлой среде.
• Отсутствие стабилизирующих факторов, таких как поверхностное натяжение или вязкость, которые могут замедлять или подавлять рост неустойчивости.

Влияние поверхностного натяжения и вязкости

• Поверхностное натяжение оказывает стабилизирующее действие, сглаживая возмущения малого масштаба. При учёте поверхностного натяжения скорость роста γ корректируется:

$$ \gamma = \sqrt{g k \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2 + \rho_1} - \frac{\sigma k^3}{\rho_2 + \rho_1}} $$

где σ — коэффициент поверхностного натяжения.

• Вязкость замедляет рост неустойчивости, внося диссипативные эффекты.

Примеры и проявления неустойчивости Рэлея-Тейлора

• При взрывах и детонациях, когда тяжёлые продукты горения «наваливаются» на лёгкие.
• В астрофизике — формирование структур в сверхновых.
• В технологии — смешивание жидкостей в гравитационном поле, или при ускорениях.
• В гидродинамике — нарушение интерфейсов в каналах и резервуарах.

Этапы развития неустойчивости

1. Линейный этап — малые возмущения растут экспоненциально, описываются линейной теорией.
2. Нелинейный этап — развитие сложных структур, взаимодействие шпилей и петель.
3. Турбулентный переход — интерфейс становится турбулентным, развивается смешение.

Практическое значение

Неустойчивость Рэлея-Тейлора важна для понимания процессов смешения, теплообмена и динамики фазовых переходов в жидкостях и газах. Умение прогнозировать и управлять этой неустойчивостью позволяет оптимизировать процессы в энергетике, химической технологии, космической физике.