Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) представляет собой явление, при котором в двумерных электронных системах в сильных магнитных полях наблюдается точная квантизация холловского сопротивления при дробных значениях заполнения Ландау. В отличие от интегрального квантового эффекта Холла, где сопротивление квантуется при целых заполнениях уровней Ландау, ДКЭХ демонстрирует возникновение новых коллективных состояний, обусловленных сильными взаимодействиями между электронами.
Ключевой момент: ДКЭХ возникает только при низких температурах (обычно T < 1 К) и высоких магнитных полях (B > 5 Т), когда кинетическая энергия электронов подчинена квантовым ограничениям, а кулоновские взаимодействия становятся решающими.
Для реализации ДКЭХ необходима строго двумерная система, чаще всего это гаусыевские электронные газовые слои в полупроводниковых гетероструктурах типа GaAs/AlGaAs. Такие системы обеспечивают высокую подвижность электронов, что критично для формирования когерентных коллективных состояний.
Основные условия:
Уровни Ландау и дробное заполнение: В сильном магнитном поле энергия электрона в двумерной системе дискретизируется в уровни Ландау:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad \omega_c = \frac{eB}{m^*} $$
При этом взаимодействие электронов приводит к формированию новых коллективных квантованных состояний при дробных значениях заполнения ν = p/q, где p и q — целые числа, чаще всего нечетные.
Композитные фермионы: Для объяснения ДКЭХ введено понятие композитных фермионов — электронов, связанных с магнитными флуксонами. Эти частицы эффективно ощущают уменьшенное магнитное поле:
B* = B − 2πnsϕ0
где φ₀ = h/e — квант потока. Такое представление позволяет рассматривать ДКЭХ как интегральный квантовый эффект для композитных фермионов.
Энергетические зазоры: Дробные состояния характеризуются появлением энергетических зазоров, определяющих стабильность фракционных квантовых состояний. Зазоры возникают исключительно из-за взаимодействий между электронами и имеют порядок:
$$ \Delta \sim 0.1 \frac{e^2}{\epsilon l_B} $$
где $l_B = \sqrt{\hbar / eB}$ — магнитный длина Ландау, ε — диэлектрическая постоянная среды.
Квазичастицы с дробным зарядом: Эксперименты показывают, что возбуждения в ДКЭХ несут дробный электрический заряд:
$$ q^* = \frac{e}{q} $$
Эти квазичастицы подчиняются статистике любого рода (anyons), что является уникальной особенностью ДКЭХ по сравнению с интегральным эффектом Холла.
Методы измерения:
Типичные результаты:
Лауандау-Газ (Laughlin wavefunction): Для ν = 1/m (m нечетное) состояние Лаулина описывается волновой функцией:
Ψm(z1, ..., zN) = ∏i < j(zi − zj)mexp (−∑i|zi|2/4lB2)
Эта функция минимизирует кулоновскую энергию и описывает сильно коррелированное состояние с дробными квазичастицами.
Теория композитных фермионов (Jain): Предлагает рассматривать электрон + 2p флуксонов как новую квазичастицу, которая «видит» уменьшенное магнитное поле. Интегральный квантовый эффект для композитных фермионов объясняет многие наблюдаемые фракции ДКЭХ.