Квантовое моделирование в криофизике представляет собой метод численного и теоретического анализа поведения физических систем при экстремально низких температурах, где квантовые эффекты становятся доминирующими. В отличие от классических моделей, здесь учитываются квантовая суперпозиция, туннельные эффекты, квантовая запутанность и дискретная структура энергетических уровней.
При температурах, близких к абсолютному нулю, тепловая энергия kBT становится соизмеримой с разницей между дискретными энергетическими уровнями системы. Это приводит к:
Энергетические уровни могут быть рассчитаны с использованием гамильтонианов, учитывающих как взаимодействие частиц, так и внешние поля:
$$ \hat{H} = \sum_i \frac{\hat{p}_i^2}{2m} + \sum_{i<j} V(\hat{r}_i - \hat{r}_j) + \sum_i U_\text{ext}(\hat{r}_i) $$
где V(r̂i − r̂j) — взаимодействие между частицами, Uext(r̂i) — внешнее потенциальное поле.
Метод Монте-Карло для квантовых систем (QMC) Позволяет моделировать статистические свойства многихчастичных систем. Важнейшие подходы включают Path Integral Monte Carlo (PIMC), где квантовая частица представляется траекторией в “времени действия”. Метод особенно эффективен для бозонных систем при низких температурах.
Метод плотностного функционала (DFT) Основан на принципе, что свойства системы могут быть выражены через плотность частиц, а не через полный волновой функционал. В криофизике используется для моделирования электронных структур в твердых телах, сверхпроводниках и наноструктурах.
Квантовая динамика (QMD) Позволяет отслеживать эволюцию волновых функций во времени с учетом квантовых эффектов. Применяется для изучения туннельного транспорта, колебаний квантовых точек и динамики сверхпроводящих систем.
Тензорные сети и матричные произведения (MPS/PEPS) Эффективны для одномерных и двумерных сильно коррелированных систем. Позволяют моделировать состояния с высокой запутанностью, где традиционные методы становятся вычислительно непосильными.
Сверхтекучесть — одно из ключевых явлений, возникающее у бозонных жидкостей (например, гелий-4). Моделирование требует учета макроскопической квантовой когерентности:
Ψ(r1, r2, …, rN) = ∏iψ(ri)
Сверхпроводимость — проявляется у фермионных систем через образование куперовских пар. Математическая модель строится на базе уравнений БКШ (BCS):
$$ \Delta(\mathbf{k}) = - \sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k},\mathbf{k}'} \frac{\Delta(\mathbf{k}')}{2 E(\mathbf{k}')} \tanh\left(\frac{E(\mathbf{k}')}{2 k_B T}\right) $$
где $E(\mathbf{k}) = \sqrt{(\epsilon_\mathbf{k}-\mu)^2 + |\Delta(\mathbf{k})|^2}$ — энергия квазичастиц.
Квантовый туннельный эффект — ключевой для изучения переходов между метастабильными состояниями, особенно в магнитных и когерентных кристаллах при милликельвиновых температурах. Вероятность туннелирования рассчитывается через интеграл по траекториям или метод ВKB (Wentzel–Kramers–Brillouin).