Квантовый эффект Холла (КЭХ) представляет собой явление, при котором в двумерной электронном газе (2DEG), помещенном в сильное магнитное поле, поперечное сопротивление проявляет дискретные квантованные ступени, а продольное сопротивление стремится к нулю. Это явление является прямым следствием квантования энергии электронов в магнитном поле и связано с фундаментальной физикой двумерных систем.
В обычных проводниках эффект Холла выражается линейной зависимостью поперечного напряжения от магнитного поля. В двумерных электронных системах при низких температурах и высоких полях возникает точная квантованная зависимость, которая описывается формулой:
$$ R_H = \frac{V_H}{I} = \frac{h}{e^2 \nu}, $$
где h — постоянная Планка, e — заряд электрона, ν — заполняющая факторная величина (целое число для целочисленного эффекта Холла или дробное для дробного эффекта Холла).
Ключевым для понимания КЭХ является концепция Ландау-уровней. В сильном перпендикулярном магнитном поле электроны движутся по циклотронам, и их кинетическая энергия квантуется:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
где $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$ — циклотронная частота, m* — эффективная масса электрона, B — магнитная индукция. Каждый Ландау-уровень имеет высокую вырождённость, пропорциональную величине магнитного поля:
$$ N_L = \frac{eB}{h} A, $$
где A — площадь двумерной системы.
Таким образом, при изменении магнитного поля или плотности электронов наблюдается пошаговое заполнение Ландау-уровней, что и приводит к дискретным ступеням поперечного сопротивления.
Целочисленный квантовый эффект Холла возникает при том, что заполненные Ландау-уровни полностью локализованы, а продольное сопротивление стремится к нулю. Основные особенности:
Физический механизм связан с локализацией состояний в диссипативной среде: при определенных значениях магнитного поля заполняются только локализованные состояния, что предотвращает рассеяние тока и обеспечивает нулевое продольное сопротивление.
Дробный квантовый эффект Холла наблюдается при больших магнитных полях и низких температурах, когда поперечное сопротивление принимает дробные значения:
$$ R_H = \frac{h}{e^2} \frac{1}{\nu}, \quad \nu = \frac{p}{q}, \quad p, q \in \mathbb{Z}. $$
Его открытие связано с взаимодействием электронов и образованием коллективных коррелированных состояний, описываемых волноподобными функциями Лауна:
$$ \Psi_{\text{Laughlin}}(z_1, \dots, z_N) = \prod_{i<j} (z_i - z_j)^m \exp\left( -\sum_k \frac{|z_k|^2}{4 l_B^2} \right), $$
где m — нечетное целое число, $l_B = \sqrt{\hbar / eB}$ — магнитный длина. Дробный эффект Холла демонстрирует квазичастицы с дробным зарядом e* = e/m и необычными статистиками (антисимметричные волновые функции для фермионов).
Важнейшую роль в КЭХ играют краевые состояния, которые формируются на границах двумерного электронного газа. Эти состояния:
Локализованные состояния в объеме материала не участвуют в проводимости, но стабилизируют квантованные ступени сопротивления, предотвращая их дрейф.
Квантовый эффект Холла проявляется при низких температурах (обычно ниже 1–4 К), так как:
Однако в современных экспериментах благодаря сверхчистым материалам и сильным магнитным полям квантовый эффект Холла наблюдается даже при температурах до десятков Кельвинов.
КЭХ имеет фундаментальное и прикладное значение:
Квантовый эффект Холла демонстрирует глубокую связь квантовой механики, взаимодействий электронов и топологии двумерных систем, делая его ключевым явлением в современной физике конденсированного состояния.