Локализация Андерсона

Локализация Андерсона — это фундаментальный квантовомеханический феномен, проявляющийся в неупорядоченных или случайных системах, при котором волновые функции частиц становятся локализованными в пространстве, что приводит к прекращению их диффузионного движения. Эффект был впервые предсказан Филипом Андерсоном в 1958 году и стал ключевым для понимания электронных свойств дисordered материалов, таких как аморфные полупроводники, металлические сплавы с примесями и ультрахолодные атомные газы в оптических решетках.

Основная физическая идея заключается в том, что в присутствии сильного беспорядка интерференционные эффекты волновых функций электронов могут полностью подавлять их транспорт. В отличие от обычного рассеяния, где электроны теряют упорядоченное движение, при локализации возникает полное подавление проводимости на квантовом уровне.

Математическая формулировка и критерии локализации

Для описания локализации Андерсона используют гамильтониан решеточной модели с случайной потенциальной энергией:

Ĥ = ∑_iϵ_iĉ_i^†ĉ_i + t∑_⟨i, j⟩(ĉ_i^†ĉ_j + ĉ_j^†ĉ_i),

где ϵ_i — случайная энергия на узле i, распределенная с вероятностной функцией P(ϵ), t — амплитуда туннелирования между соседними узлами, ĉ_i^† и ĉ_i — оператор рождения и уничтожения частицы на узле i.

Ключевой параметр — отношение дисперсии случайного потенциала W к амплитуде туннелирования t. При увеличении W/t наблюдается переход от дельокализованного состояния к локализованному. В одной и двух размерностях практически любая степень беспорядка приводит к локализации, тогда как в трехмерной системе существует критическое значение W_c, при котором происходит фазовый переход.

Волновые функции и интерференция

Локализованные состояния характеризуются экспоненциальным затуханием амплитуды волновой функции вдали от центра:

|ψ(r)| ∼ e^{−|r − r₀|/ξ},

где ξ — длина локализации. Длина локализации зависит от энергии частицы и степени беспорядка. Волновые функции демонстрируют сложную интерференционную структуру, обусловленную многократным рассеянием на случайных дефектах. Важный результат: при локализации электрон не может переносить заряд на макроскопические расстояния, и система становится изолятором с нулевой проводимостью при температуре T → 0.

Теория масштабирования и критические явления

Современное понимание локализации Андерсона связано с теорией масштабирования Абрахама, Локера и Кинга. В трехмерных системах переход локализации описывается с помощью функции масштабирования β(g) = dln g/dln L, где g — проводимость в единицах e²/ℏ, L — размер системы. Сигн переменной β(g) определяет, увеличивается или уменьшается проводимость с ростом масштаба:

β(g) > 0 — проводимость растет с увеличением L, система металлик.
β(g) < 0 — проводимость падает, локализованное состояние.
β(g) = 0 — критическая точка перехода.

Эта концепция позволяет описывать фазовый переход “металл–изолятор” в терминах универсальных критических экспонентов и масштабной зависимости характеристик.

Экспериментальные проявления

Локализация Андерсона наблюдается в различных физических системах:

Дисordered полупроводники и металлические сплавы — измерения проводимости при низких температурах показывают экспоненциальное снижение с увеличением степени беспорядка.
Ультрахолодные атомные газы в оптических решетках — позволяют имитировать гамильтонианы Андерсона с точным контролем уровня беспорядка, наблюдая экспоненциальное затухание атомной плотности.
Световые и акустические системы — локализация света и звука в случайных средах подтверждает универсальность эффекта для волновых систем.

Ключевое экспериментальное наблюдение — экспоненциальное подавление диффузии и насыщение локализованных плотностей, что соответствует предсказаниям теории.

Влияние взаимодействий и температурные эффекты

При добавлении взаимодействий между частицами локализация усложняется:

В случае слабых взаимодействий возникает многочастичная локализация, когда возбуждения остаются локализованными, но изменяются энергетические спектры.
При повышении температуры термические флуктуации могут разрушать когерентную интерференцию, вызывая дезлокализацию, однако при низких температурах эффект локализации остается доминирующим.

Важные характеристики локализованного состояния

Длина локализации ξ — основная мера протяженности локализованного состояния, зависит от энергии и уровня беспорядка.
Экспоненциальное затухание корреляционной функции: ⟨ψ^*(r)ψ(r + R)⟩ ∼ e^−R/ξ.
Нулевая проводимость при T → 0 — главный критерий локализованного состояния в электронных системах.
Фрактальная структура волновых функций на критической точке — характерна для перехода металл–изолятор.

Локализация Андерсона продолжает оставаться фундаментальной концепцией для изучения квантового транспорта, интерференционных явлений и фазовых переходов в дисordered системах. Она соединяет идеи квантовой механики, статистической физики и теории случайных матриц, обеспечивая универсальный язык для описания поведения волн в случайных средах.