Одномерные квантовые системы представляют собой идеализированные модели частиц или коллективных возбуждений, движение которых ограничено по одной пространственной координате. Такие системы обладают рядом уникальных свойств, отличающих их от двумерных и трехмерных аналогов, что делает их предметом интенсивного изучения в криофизике, конденсированной материи и квантовой оптике.
В одномерной квантовой системе поведение частицы описывается уравнением Шрёдингера:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x), $$
где V(x) — потенциальная энергия, E — энергия состояния, ψ(x) — волновая функция.
Для бесконечной потенциальной ямы шириной L возможные уровни энергии дискретны и задаются выражением:
$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}, \quad n = 1,2,3 \dots $$
Ключевой особенностью одномерной системы является строгое квантование кинетической энергии и отсутствие возможности свободного движения в поперечных направлениях, что усиливает эффекты квантовой интерференции и локализации.
В одномерных системах туннелирование приобретает особое значение. Рассмотрим частицу с энергией E, сталкивающуюся с потенциальным барьером высотой V0 > E и шириной a. Вероятность туннелирования описывается формулой:
$$ T \approx e^{-2 \kappa a}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}. $$
Даже при малой толщине барьера квантовые эффекты становятся доминирующими, что важно для объяснения явлений, таких как транспорт электронов в нанопроводах или одномерных квантовых точках.
В одномерных условиях взаимодействия между частицами проявляются особенно сильно. Для ферми-газов это выражается в теории Томона-Луттингера, где коллективные возбуждения описываются волнами плотности, а не индивидуальными фермионами. Основные характеристики:
Для бозе-систем характерна модель Лайонса (Lieb-Liniger), описывающая слабовзаимодействующие бозоны в одном измерении. Плотность и корреляционные функции определяются параметром взаимодействия γ = mg/(ℏ2n), где g — сила контакта, n — линейная плотность частиц. При γ → ∞ система переходит в так называемый режим Тонкса — газ «жестких» бозонов, который по свойствам напоминает ферми-газ.
В одномерных системах квантовая флуктуация имеет более выраженный характер, чем в высокоразмерных системах. Средние значения и корреляционные функции показывают медленное, алгебраическое убывание:
⟨ψ†(x)ψ(0)⟩ ∼ |x|−1/(2K),
где K — параметр Томона-Луттингера, определяющий силу квантовых флуктуаций. Это приводит к отсутствию истинной длиннопорядковой упорядоченности в бозе-системах, даже при температуре, близкой к абсолютному нулю.
Одномерные квантовые системы поддерживают нестандартные возбуждения, включая солитоны и топологические дефекты. В бозе-гасовых системах солитоны проявляются как локализованные зоны пониженной плотности, устойчивые к рассеянию и взаимодействию с другими возбуждениями. Их динамика описывается нелинейным уравнением Шрёдингера (Gross-Pitaevskii):
$$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + g |\psi|^2 \right) \psi. $$
Эти решения критически важны для экспериментов с ультрахолодными атомными газами в одномерных ловушках.
Современные эксперименты используют следующие подходы для реализации одномерных систем:
Эти системы позволяют наблюдать квантовые эффекты, недоступные в трехмерной среде, и служат платформой для изучения фундаментальных закономерностей квантовой механики в условиях высокой флуктуации и сильных взаимодействий.
Одномерные квантовые системы демонстрируют необычные транспортные свойства. Например, тепловая и электрическая проводимость сильно зависят от взаимодействий и квантовой корреляции. Для ферми-газов в рамках модели Томона-Луттингера проводимость ограничена идеальной квантовой единицей G0 = 2e2/h, а отклонения от идеальной цепи вызывают сложные корреляционные эффекты.
Термодинамика одномерных систем описывается точно интегрируемыми моделями (например, Лайонса или Тонкса), что позволяет предсказывать поведение системы при конечной температуре и слабых или сильных взаимодействиях.