Слабо взаимодействующий бозе-газ представляет собой квантовую систему, состоящую из бозонов, взаимодействующих друг с другом с очень малой силой. Под “слабым взаимодействием” понимается, что характерная энергия взаимодействия U значительно меньше кинетической энергии частиц Ek, то есть U ≪ Ek. Такая система позволяет применять методы возмущений и квазиклассические аппроксимации, а также развивать теорию на основе методов второго квантования.
Ключевыми параметрами системы являются:
Гамильтониан слабо взаимодействующего бозе-газа в пространстве второго квантования записывается как:
$$ \hat{H} = \int d^3r \, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) + \frac{g}{2} \int d^3r \, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\psi}(\mathbf{r}), $$
где ψ̂(r) и ψ̂†(r) — операторы уничтожения и рождения бозонов в точке r, m — масса частиц. Первый член описывает кинетическую энергию, второй — локальные взаимодействия типа контактного потенциала.
При температуре ниже критической Tc происходит макроскопическое население основного состояния:
$$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3}, $$
где ζ(3/2) ≈ 2.612 — значение функции Римана для аргумента 3/2. Для слабо взаимодействующего газа наличие конденсата проявляется через появление когерентного состояния с амплитудой ⟨ψ̂⟩ ≠ 0.
Для описания слабо взаимодействующего бозе-газа ниже Tc применяется аппроксимация Богда:
$$ \hat{\psi}(\mathbf{r}) = \sqrt{n_0} + \delta \hat{\psi}(\mathbf{r}), $$
где n0 — плотность конденсата, а δψ̂ — флуктуации. Подставляя это разложение в гамильтониан и оставляя члены до второго порядка по δψ̂, получают:
$$ \hat{H} \approx E_0 + \sum_{\mathbf{k} \neq 0} \left[ (\epsilon_k + gn_0) \hat{a}^\dagger_\mathbf{k} \hat{a}_\mathbf{k} + \frac{g n_0}{2} (\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k}}^\dagger + \hat{a}_\mathbf{k} \hat{a}_{-\mathbf{k}}) \right], $$
где ϵk = ℏ2k2/2m. Дальнейшая диагонализация через преобразование Богда приводит к спектру элементарных возбуждений:
$$ E_k = \sqrt{\epsilon_k (\epsilon_k + 2 g n_0)}. $$
Этот спектр демонстрирует линейное поведение при малых k (фононные возбуждения) и квадратичное при больших k (свободные частицы).
Флуктуации числа частиц в конденсате при T < Tc подчиняются закону:
$$ \frac{\langle (\Delta N_0)^2 \rangle}{N_0} \sim \left( \frac{T}{T_c} \right)^3, $$
что означает высокую стабильность макроскопального состояния конденсата при низких температурах.
Для анализа квантовых корреляций используется функция Грина:
G(1)(r, r′) = ⟨ψ̂†(r)ψ̂(r′)⟩,
которая характеризует когерентность системы. Для слабо взаимодействующего газа на расстояниях |r − r′| ≪ ξ (ξ — когерентная длина) функция Грина близка к n0, а при больших расстояниях наблюдается экспоненциальное затухание корреляций.
Энергия слабо взаимодействующего газа с учетом взаимодействий:
$$ E = \frac{g n^2 V}{2} \left[ 1 + \frac{128}{15\sqrt{\pi}} (n a_s^3)^{1/2} \right], $$
где V — объем системы. Вклад взаимодействий мал, но влияет на давление и скорость звука:
$$ c_s = \sqrt{\frac{g n_0}{m}}. $$
В экспериментах бозе-газы часто помещают в ловушки с потенциалом Vext(r), например гармоническим. В приближении Томаса-Ферми плотность конденсата определяется из условия:
μ = Vext(r) + gn0(r),
где μ — химический потенциал. Такая аппроксимация позволяет описывать форму конденсата и распределение плотности в реальных системах.
Слабо взаимодействующий бозе-газ является фундаментальной моделью квантовой статистической физики, на основе которой строятся современные исследования сверхтекучести и квантовой когерентности в холодных атомных системах.