Теория Ландау сверхтекучести

Основные положения теории

Теория сверхтекучести Ландау базируется на концепции квазичастиц и макроскопического описания жидкого состояния при крайне низких температурах. В отличие от классических жидкостей, где возмущения описываются молекулярными столкновениями, сверхтекучая жидкость характеризуется коллективными возбуждениями, которые подчиняются принципам квантовой механики.

Ландау предложил модель, в которой полный спектр возбуждений жидкости разбивается на две основные категории: фононы и ротноны. Эти возбуждения представляют собой квазичастицы с различной зависимостью энергии от импульса:

$$ \varepsilon(p) = \begin{cases} cp, & \text{фононы} \\ \Delta + \frac{(p - p_0)^2}{2\mu}, & \text{ротноны} \end{cases} $$

где c — скорость звука в жидкости, Δ — минимальная энергия ротонона, p₀ — импульс соответствующего минимума, μ — эффективная масса квазичастицы.

Критическая скорость сверхтекучести

Одним из ключевых понятий теории является критическая скорость v_c, выше которой возникает трение и разрушение сверхтекучего течения. Согласно Ландау, она определяется соотношением:

$$ v_c = \min \frac{\varepsilon(p)}{p}. $$

Для фононов v_c ≈ c, для ротононов $v_c \approx \frac{\Delta}{p_0}$. Это объясняет наблюдение беспрепятственного течения жидкого гелия-4 при очень малых скоростях.

Двухкомпонентная модель Ландау

Ландау предложил двухкомпонентную модель сверхтекучей жидкости, где жидкость состоит из:

1. Сверхтекучей компоненты с плотностью ρ_s, которая движется без вязкости и не несет энтропию.
2. Нормальной компоненты с плотностью ρ_n, представляющей тепловые возбуждения, которые подчиняются законам гидродинамики классической жидкости.

Полная плотность жидкости:

ρ = ρ_s + ρ_n

и распределение компонент зависит от температуры. При T → 0 ρ_s → ρ, а ρ_n → 0.

Гидродинамика сверхтекучей жидкости

Ландау развил уравнения гидродинамики для двухкомпонентной жидкости:

1. Уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_s \mathbf{v}_s + \rho_n \mathbf{v}_n) = 0, $$

где v_s и v_n — скорости сверхтекучей и нормальной компоненты.

2. Уравнение движения сверхтекучей компоненты:

$$ \frac{\partial \mathbf{v}_s}{\partial t} + \nabla \mu = 0, $$

где μ — химический потенциал. Это уравнение отражает идеальное бесконечное течение без вязкости.

3. Уравнение движения нормальной компоненты аналогично гидродинамическому уравнению вязкой жидкости с поправкой на взаимодействие с сверхтекучей компонентой.

Тепловое поведение и вторые звуковые волны

В сверхтекучей жидкости возникают два типа звуковых волн:

• Первый звук — обычные плотностные колебания, как в классической жидкости.
• Второй звук — колебания температуры и энтропии при практически неизменной плотности, уникальные для двухкомпонентной модели Ландау.

Скорость второго звука определяется через плотности компонент и теплоемкость C:

$$ u_2^2 = \frac{\rho_s}{\rho_n} \frac{S^2 T}{C}, $$

где S — энтропия на единицу массы, T — температура.

Спектр возбуждений и термодинамика

Знание спектра фононов и ротононов позволяет вычислить теплоемкость сверхтекучей жидкости:

C(T) = C_фонон + C_ротон.

Для низких температур вклад фононов доминирует и теплоемкость растет как T³. При температурах, близких к точке λ-перехода, вклад ротононов становится существенным.

Энергетические и динамические характеристики

• Минимальная энергия ротонона Δ определяет тепловую активность квазичастиц при низких температурах.
• Эффективная масса μ ротонона влияет на плотность нормальной компоненты ρ_n(T).
• Сверхтекучий ток:

j_s = ρ_sv_s,

практически не испытывает диссипации, что объясняет явления, такие как эффект фон Неймана, самотекание жидкого гелия по стенкам сосуда без внешнего давления.

Экспериментальные подтверждения

• Наличие второго звука подтверждено акустическими экспериментами.
• Измерения критической скорости течения согласуются с предсказаниями Ландау.
• Теплоемкость жидкого гелия демонстрирует характерное T³-поведение при низких температурах и резкий рост около точки λ-перехода.

Влияние внешних полей и границ

• Внешнее магнитное или электрическое поле не влияет напрямую на нейтральный гелий-4, однако границы сосуда могут индуцировать вихревые возбуждения, которые разрушают сверхтекучесть при превышении критической скорости.
• В тонких капиллярах и пленках проявляются квантовые эффекты, такие как квантование циркуляции, полностью описываемые на базе гидродинамической модели Ландау.