Точная диагонализация

Точная диагонализация (exact diagonalization, ED) является одним из фундаментальных численных методов квантовой статистики и квантовой механики конденсированных систем. Этот метод позволяет получать полные спектры гамильтонианов для конечных систем с дискретным числовым пространством состояний, что делает его особенно ценным для изучения сильно коррелированных квантовых систем.

Метод основан на прямом решении уравнения Шредингера:

Ĥ|ψn⟩ = En|ψn⟩,

где Ĥ — гамильтониан системы, |ψn⟩ — собственные состояния, а En — собственные значения энергии. В отличие от приближенных методов, точная диагонализация не вносит аппроксимаций в вычисление спектра, однако ограничена размерностью пространства состояний из-за экспоненциального роста числа конфигураций с увеличением числа частиц или размерности решетки.

Представление гамильтониана

Для применения метода точной диагонализации гамильтониан системы обычно записывается в виде матрицы в базисе локальных состояний. Например, для спиновой системы с N спинами-1/2 базис формируется из всех 2N возможных конфигураций спинов | ↑  ↓  ↑ …⟩.

Пример гамильтониана для решетки Хайзенберга:

Ĥ = J∑⟨i, j⟩Si ⋅ Sj,

где J — константа обменного взаимодействия, Si — спин на сайте i, а суммирование идет по ближайшим соседям. В выбранном базисе Ĥ превращается в 2N × 2N матрицу.

Ключевым шагом является эффективное хранение разреженной матрицы гамильтониана, поскольку большинство элементов матрицы часто равны нулю. Для этого используются структуры данных типа CSR (Compressed Sparse Row) или COO (Coordinate List), что позволяет уменьшить требования к памяти.

Алгоритмы диагонализации

Для малых систем (N ≲ 16 для спинов-1/2) можно использовать полную диагонализацию с помощью стандартных линейных алгебраических библиотек (например, LAPACK).

Для более крупных систем применяются итеративные методы, такие как:

  1. Алгоритм Ланцоша

    • Позволяет находить несколько собственных значений и собственных векторов с наименьшей энергией.
    • Основан на построении трёхдиагональной матрицы в ортогональном базисе Ланцоша, после чего собственные значения этой матрицы аппроксимируют собственные значения гамильтониана.

  2. Алгоритм Арнольди

    • Обобщение метода Ланцоша для неквадратных или несамосопряжённых матриц.
    • Используется реже в физике конденсированных систем, но может быть полезен для открытых квантовых систем.

Симметрии и сокращение размерности

Использование симметрий системы позволяет значительно уменьшить размер матрицы:

  • Закон сохранения спина Sz: матрица гамильтониана блокируется по квантовым числам Sz.
  • Транслокационная симметрия: позволяет перейти в базис моментов и сократить размерность пространства.
  • Пространственные симметрии решетки: отражения, вращения и группы точечной симметрии уменьшают размер блоков матрицы.

Симметрии критически важны для применения точной диагонализации к системам с большим числом частиц, поскольку без них вычисления быстро становятся невозможными.

Вычисление наблюдаемых

После нахождения собственных значений и собственных векторов можно вычислять:

  1. Термодинамические величины: энергия, теплоёмкость, магнетизация, свободная энергия через статистический ансамбль:

$$ Z = \sum_n e^{-\beta E_n}, \quad \langle O \rangle = \frac{1}{Z} \sum_n \langle \psi_n | \hat{O} | \psi_n \rangle e^{-\beta E_n}. $$

  1. Квантовые корреляции: двухточечные функции, например, корреляции спина:

Cij = ⟨SizSjz⟩ − ⟨Siz⟩⟨Sjz⟩.

  1. Спектральные функции и динамические характеристики: с помощью метода Ланцоша можно вычислять спектральные функции, например, динамическую структуру спина:

S(q, ω) = ∑n|⟨ψn|Sqz|ψ0⟩|2δ(ω − (En − E0)).

Ограничения и перспективы

Основной предел метода — экспоненциальный рост размерности пространства состояний:

dim(ℋ) ∼ dN,

где d — размер локального пространства (например, 2 для спина-1/2), а N — число частиц или узлов решетки. Практически современные вычислительные возможности позволяют исследовать системы с размерностью порядка 106 − 107, что соответствует N ∼ 20 − 24 для спинов-1/2.

Перспективы развития метода связаны с:

  • Использованием гибридных симметрий,
  • Оптимизацией хранения разреженных матриц,
  • Интеграцией точной диагонализации с методами вариационного Монте-Карло и Tensor Network, позволяя изучать более крупные системы с высокой точностью.
Оглавление