Вырожденные ферми-газы

Вырожденный ферми-газ — это квантовая система частиц с полуцелым спином, которые подчиняются принципу Паули, запрещающему двум фермионам занимать одно и то же квантовое состояние. В криофизике и физике конденсированного состояния вещества поведение таких систем приобретает особое значение при температурах, близких к абсолютному нулю.

Ключевым параметром, характеризующим ферми-газ, является ферми-энергия EF, которая определяется как энергия самого высокого занятого состояния при абсолютном нуле:

$$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2 n\right)^{2/3} $$

где m — масса фермиона, n — концентрация частиц, ℏ — приведённая постоянная Планка. Энергия Ферми задаёт масштаб, при котором квантовые эффекты начинают преобладать над классическими термодинамическими свойствами.

Статистическое описание

Ферми-частицы описываются статистикой Ферми–Дирака, где среднее число частиц в состоянии с энергией ε задаётся распределением:

$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T} + 1} $$

Здесь μ — химический потенциал, kB — постоянная Больцмана, T — температура. При T → 0 распределение приобретает вид ступенчатой функции:

$$ f(\varepsilon) = \begin{cases} 1, & \varepsilon < E_F \\ 0, & \varepsilon > E_F \end{cases} $$

Таким образом, при низких температурах все состояния с энергией ниже EF полностью заполнены, а выше — пусты.

Плотность состояний и вырождение

Плотность квантовых состояний на единицу энергии в трёхмерном ферми-газе определяется как:

$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{\varepsilon} $$

При T ≪ TF, где TF = EF/kB — температура Ферми, большинство фермионов находятся вблизи уровня Ферми. Это приводит к появлению вырождения, когда термодинамические свойства сильно отличаются от классических предсказаний:

  • Энергия: $U \approx \frac{3}{5} N E_F$
  • Давление: $P \approx \frac{2}{5} \frac{N}{V} E_F$
  • Теплоёмкость при низких температурах: CV ∝ T/TF, в отличие от классической линейной зависимости $C_V = \frac{3}{2}Nk_B$

Эти формулы отражают ключевой эффект вырожденного состояния: подавление теплоёмкости из-за ограниченной возможности фермионов занимать новые состояния.

Вырожденные ферми-газы в металлах

Электроны в металлах часто моделируются как вырожденный ферми-газ. Ферми-уровень в металле определяет:

  • Электропроводность: Электроны с энергией вблизи EF отвечают за перенос тока, так как только они могут менять своё состояние при малых энергетических возмущениях.
  • Тепловые свойства: Линейная зависимость электронной теплоёмкости Ce ∼ γT при T ≪ TF, где γ — коэффициент, связанный с плотностью состояний на уровне Ферми.
  • Магнитные свойства: Парамагнитная восприимчивость Паули пропорциональна g(EF).

При этом важно различать вклад электронов и вклад решётки: при криогенных температурах электронная теплоёмкость преобладает над решётчатой только в металлических системах с низкой температурой Ферми.

Квантовые эффекты и сверхтекучесть

Вырожденные ферми-газы образуют основу явлений квантовой статистики при сверхнизких температурах:

  • Сверхтекучость 3He: Фермионы 3He, взаимодействуя через слабое привлекательное взаимодействие, формируют куперовские пары, аналогичные тем, что в сверхпроводниках. Это приводит к фазе супертекучести при температурах ниже ~2.5 мК.
  • Эффекты спиновой поляризации: В сильно вырожденных системах можно наблюдать ферромагнитные и антиферромагнитные корреляции, обусловленные статистическим вырождением и взаимодействием фермионов.

Магнитные свойства вырожденного ферми-газа

Вырожденный ферми-газ проявляет характерные магнитные свойства, отличающиеся от классической Ланжевенской модели:

  • Парамагнитизм Паули: Ограничение на заполнение квантовых состояний приводит к малой, но конечной магнитной восприимчивости χ ∼ g(EF)μB2.
  • Диамагнетизм Ландау: Колебания электронов в магнитном поле вызывают отрицательную магнитную восприимчивость, которая по величине сопоставима с парамагнитным вкладом Паули.
  • Квантовые осцилляции (эффект де Хаса–ван Альфена): В сильных магнитных полях плотность состояний становится дискретной (уровни Ландау), что проявляется в колебаниях магнитной восприимчивости и других термодинамических величин.

Тонкие эффекты при низких температурах

При температурах T ≪ TF проявляются следующие эффекты:

  1. Сужение распределения: Только частицы вблизи EF активно участвуют в обмене энергии и переноса импульса.
  2. Снижение теплоёмкости: Из-за ограничения доступных состояний.
  3. Квантовые колебания в плотности состояний: Наблюдаются в экспериментах с двумерными электронными газами и наноструктурами.
  4. Корреляции взаимодействующих фермионов: Даже слабые взаимодействия могут вызывать коллективные эффекты, включая спиновые волны и плазмонные возбуждения.
Оглавление