В традиционной классической геометрии координаты точек пространства рассматриваются как коммутативные переменные, удовлетворяющие [xi, xj] = 0. В квантовой механике подобный подход сохраняется для координат операторов лишь частично: координаты становятся операторами на гильбертовом пространстве, но обычно коммутируют. Некоммутативная геометрия предполагает принципиальное нарушение этого коммутирования:
[xi, xj] = iθij,
где θij — антисимметричная константа или, в более сложных случаях, функция координат и импульсов. Такое обобщение позволяет рассматривать квантовую гравитацию в терминах геометрии, где сама структура пространства-времени подчинена квантовым законам.
Существует несколько ключевых подходов к введению некоммутативных координат:
Матричная некоммутативность (Matrix Geometry) Координаты представляются в виде матриц Xi, для которых выполняется
[Xi, Xj] = ifij(Xk),
где fij — функции, определяющие структуру алгебры. В простейших случаях fij = θijI, что приводит к постоянной некоммутативности, аналогичной канонической коммутации координат и импульсов в квантовой механике.
Квантовые группы и кванты Пуассона Некоммутативные алгебры могут быть построены на основе квантовых групп SUq(N), где q-деформация вводит дискретность и когерентные структуры на малых масштабах. Это позволяет описывать симметрии пространства-времени, которые нарушаются при переходе к планковским масштабам.
Каноническая некоммутативность В простейшей форме координаты удовлетворяют каноническому правилу:
[xi, xj] = iθij, [xi, pj] = iℏδij, [pi, pj] = 0,
где θij фиксированы, что соответствует введению “минимального объема” в пространстве. Этот подход активно применяется в квантовой гравитации с дискретизацией пространства.
Для работы с некоммутативными пространствами вводят звёздное произведение (Moyal product):
$$ (f \star g)(x) = f(x) \exp\Big(\frac{i}{2}\overleftarrow{\partial_i} \theta^{ij} \overrightarrow{\partial_j}\Big) g(x), $$
которое позволяет использовать обычные функции на коммутативном пространстве, но учитывать некоммутативность через модифицированное произведение. Звёздное произведение удовлетворяет:
[xi, xj]⋆ = xi ⋆ xj − xj ⋆ xi = iθij.
Этот формализм лежит в основе квантовых полей на некоммутативных пространствах и служит основой для моделирования квантовой геометрии.
Минимальная длина Некоммутативность координат вводит фундаментальное ограничение на разрешение положения точек:
$$ \Delta x_i \Delta x_j \geq \frac{1}{2} |\theta_{ij}|. $$
Это аналогично принципу неопределённости Гейзенберга, но распространяется на координаты, а не только на координаты и импульсы.
Дискретизация пространства-времени В планковском масштабе классическое пространство теряет смысл. Некоммутативная геометрия предлагает естественный способ дискретизации без разрыва симметрий, что критично для квантовой гравитации.
Коррекция стандартных взаимодействий Ввод некоммутативных координат приводит к дополнительным членам в лагранжианах квантовых полей. Эти члены могут проявляться в виде аномальных взаимодействий или расщепления спектров частиц.
В рамках подхода ДSR (Doubly Special Relativity) и квантовой гравитации часто рассматривают κ-деформированные алгебры:
$$ [x_0, x_i] = \frac{i}{\kappa} x_i, \quad [x_i, x_j] = 0, $$
где x0 — временная координата, xi — пространственные, κ ∼ MPlanck. Основные свойства:
В моделях типа BFSS (Banks–Fischler–Shenker–Susskind) координаты пространства представлены матрицами Xi, а динамика задается действием:
$$ S = \frac{1}{g_s} \int dt \, \text{Tr} \Big(\frac{1}{2} (D_t X_i)^2 + \frac{1}{4} [X_i, X_j]^2 + \dots \Big), $$
где Dt — ковариантная производная, [Xi, Xj]2 отвечает за некоммутативность. В таком подходе пространственные измерения возникают как средние значения матриц, а квантовая геометрия становится динамической величиной.
Некоторые ключевые последствия введения некоммутативных координат в гравитации:
Квантование геометрических величин Объемы, площади и длины становятся операторами с дискретными спектрами. Это согласуется с результатами петлевой квантовой гравитации.
Регуляризация сингулярностей Благодаря минимальной длине черные дыры и сингулярности космологического типа получают естественные пределы, что позволяет избегать бесконечных кривизн и плотностей.
Изменение симметрий Лоренц-инвариантность в её классическом виде нарушается, но возможно введение квантованных или деформированных симметрий (квантовые группы, κ-деформации).