Асимптотически безопасная гравитация Вайнберга

Основная идея и концептуальная рамка

Асимптотическая безопасность, предложенная Стивеном Вайнбергом в 1970-х годах, представляет собой подход к квантовой гравитации, основанный на существовании нефритичных (non-trivial) ультрафиолетовых (UV) фиксированных точек для ренормгруппового потока гравитационных констант. В отличие от традиционного представления о неренормируемости квантовой гравитации в рамках стандартного подхода к теории возмущений, идея асимптотической безопасности допускает, что гравитация может быть полностью предсказуемой на всех энергетических масштабах при наличии конечного числа направлений в пространстве параметров, стабилизированных на UV фиксированной точке.

Ключевым объектом является функциональный ренормгрупповый поток для эффективного действия гравитации. Рассматривается семейство действий, включающих все разрешённые диффеоморфизм-инвариантные операторы:

$$ \Gamma_k[g_{\mu\nu}] = \int d^4x \sqrt{g} \left( \Lambda_k + \frac{1}{16\pi G_k} R + \sum_i g_{i,k} \mathcal{O}_i[g_{\mu\nu}] \right), $$

где k — масштаб ренормировки, G_k и Λ_k — масштабно-зависимые гравитационная постоянная и космологическая константа, а ????_i — операторы более высокого порядка в кривизне.

Ренормгрупповые уравнения и фиксированные точки

Важнейшим инструментом исследования является функциональный ренормгрупповой уравнение Вилсона-Вейсса (Wetterich equation) для эффективного действия:

$$ \partial_t \Gamma_k = \frac{1}{2} \text{Tr} \left[ \left( \Gamma_k^{(2)} + R_k \right)^{-1} \partial_t R_k \right], \quad t = \ln(k/k_0), $$

где R_k — функция регулирования, подавляющая низкомасштабные моды, а Γ_k⁽²⁾ — вторая вариация эффективного действия по метрике. Эта структура позволяет определить поток констант G_k, Λ_k, g_i, k в зависимости от масштаба k.

UV фиксированная точка {g_i^*} определяется условием:

β_gi(g_j^*) = 0  ∀i,

где $\beta_{g_i} = k \frac{d g_i}{d k}$ — бета-функции для всех констант. Если такая точка существует и имеет конечное число привлекательных направлений, теория становится асимптотически безопасной: все высокоэнергетические колебания управляются конечным числом параметров, и физические величины остаются конечными.

Ключевые свойства и следствия

1. Конечность и предсказуемость: В отличие от обычной квантовой гравитации на основе возмущений, асимптотическая безопасность обеспечивает, что гравитационные амплитуды остаются конечными при k → ∞, что исключает UV расходимости.

2. Фазовая структура: Потенциальная UV фиксированная точка предполагает, что поток констант G_k, Λ_k имеет фазовую диаграмму, в которой существуют как привлекательные (relevant) направления, так и отталкивающие (irrelevant) направления. Количество релевантных направлений определяет число свободных параметров, необходимых для полной спецификации теории.

3. Эффективное действие на низких масштабах: При $k \ll M_{\rm Pl}$ теория должна совпадать с классической общей теорией относительности, а коррекции, вызванные высоким k, становятся незначительными. Таким образом, асимптотически безопасная гравитация обеспечивает гладкий переход от квантового к классическому режиму.

4. Влияние на космологию: Асимптотически безопасная гравитация предполагает, что космологическая константа и гравитационная постоянная являются масштабно-зависимыми величинами, что может приводить к модификациям ранней космологии, включая фазу инфляции и динамику больших структур.

Подходы к вычислению фиксированных точек

Существуют несколько методов для изучения UV фиксированных точек:

• Траектории в трёхпараметрическом пространстве (G_k, Λ_k, g_R²): использование расширенного действия с добавлением операторов квадрата кривизны R², R_μνR^μν.
• Функциональный подход с полным ренормгруппом: применение уравнения Веттера для анализа потока бесконечного числа операторов.
• Локальные потенциалы и приближения типа “Einstein-Hilbert truncation”: ограничение пространства операторов до базового набора для получения качественной картины UV фиксированной точки.

Результаты таких исследований показывают, что существует нефритичная UV фиксированная точка с конечным числом релевантных направлений, что подтверждает возможность асимптотической безопасности.

Важные наблюдения и тестируемые предсказания

1. Скалярные и гравитационные возмущения в ранней Вселенной могут незначительно изменяться из-за зависимости G_k(k) и Λ_k(k).
2. Относительные размеры структур могут зависеть от UV фиксированной точки через модифицированное течение ранней Вселенной.
3. Физическая интерпретация “классических констант”: гравитационная постоянная и космологическая константа на низких масштабах — это эффекты интегрирования всех высокоэнергетических мод, управляемые UV фиксированной точкой.

Текущие вызовы и направления исследований

• Согласование с материей: включение калибровочных и фермионных полей в ренормгрупповой анализ.
• Точные решения уравнения Веттера: преодоление ограничений приближений, таких как “truncation”.
• Связь с другими подходами к квантовой гравитации, включая петлевую квантовую гравитацию и теории струн: поиск возможной универсальности UV фиксированных точек.
• Наблюдательная проверка: прогнозирование раннекосмологических и астрофизических эффектов, которые могли бы подтвердить или опровергнуть асимптотическую безопасность.

Асимптотически безопасная гравитация Вайнберга предлагает стройный, математически обоснованный путь к согласованной квантовой теории гравитации, в которой не возникает традиционных UV расходимостей, и предсказуемость сохраняется на всех масштабах.