Д-браны и открытые струны

Основные понятия

Д-браны (D-branes, Dirichlet branes) — это фундаментальные объекты в теории струн, на которых могут заканчиваться открытые струны. Они играют ключевую роль в современной теории струн и квантовой гравитации, так как позволяют формулировать динамику открытых струн в присутствии фонов, а также создают мост между струнной теорией и суперсимметричными теориями полей. Основная идея состоит в том, что концы открытых струн удовлетворяют условия Дирихле вдоль направлений, нормальных к Д-бране, и условия Неймана вдоль направлений, вдоль которых бран находится.

Если обозначить координаты пространства-времени как Xμ, а мировую поверхность струны как σ ∈ [0, π], τ — время, то условия Дирихле и Неймана формулируются как:

$$ \begin{cases} \delta X^i \big|_{\sigma=0,\pi} = 0, & \text{для координат, нормальных к бране (Дирихле)}, \\ \partial_\sigma X^a \big|_{\sigma=0,\pi} = 0, & \text{для координат, вдоль браны (Неймана)}. \end{cases} $$

Здесь индексы i соответствуют нормальным направлениям, а a — тангенциальным. Д-брана с p пространственными измерениями называется Dp-браной.

Динамика открытых струн на Д-бранах

Открытые струны, закрепленные на Д-бране, обладают особой динамикой:

  1. Флуктуации вдоль браны описывают возбуждения поля, локализованного на D-бране. Эти возбуждения соответствуют калибровочным полям в пространстве D-браны.
  2. Флуктуации нормальные к бране соответствуют скалярным полям, которые описывают смещения D-браны в окружающем пространстве.

Эта двойственная структура приводит к интересным следствиям: спектр малых колебаний открытых струн на D-бране совпадает со спектром полей суперсимметричных теорий на p + 1 измерениях.

Взаимодействие Д-бран и открытых струн

Д-браны являются источниками калибровочных и гравитационных полей. Рассмотрим действия для открытой струны с концами на D-бране:

$$ S = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int d\tau d\sigma \, \eta^{\alpha\beta} \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu + \int_{\partial \Sigma} A_a(X) dX^a, $$

где Aa — калибровочное поле на бране. Второй член описывает взаимодействие концов открытой струны с полем на бране, что является основой для появления динамических калибровочных полей на Д-бранах.

Это взаимодействие позволяет связать теорию струн с низкоэнергеточными полями: в пределе низких энергий действие Д-браны сводится к суперсимметричной теории Янга–Миллса:

$$ S_{\text{DBI}} = -T_p \int d^{p+1} \xi \, \sqrt{-\det (g_{ab} + 2\pi\alpha' F_{ab})} + \dots, $$

где gab — индуцированная метрика на Д-бране, Fab — калибровочное поле, а Tp — натяжение Д-браны. Это действие называется Дирихле–Борн–Инфельд (DBI) действием.

Множественные Д-браны и нерешётчатые состояния

Если несколько D-бран расположены близко друг к другу, открытые струны могут соединять их концы, создавая матричные структуры. Это приводит к следующему:

  1. Концы струны на разных D-бранах создают ненулевые матричные элементы поля Aa.
  2. Спектр возбуждений становится ненерархическим, что соответствует расширению калибровочных симметрий до U(N) при N совпадающих D-бранах.
  3. Эти эффекты играют ключевую роль в матричных моделях М-теории, где координаты становятся матрицами.

Такое расширение описывает богатую динамику, включающую некоммутативную геометрию: координаты нормальные к D-бране перестают коммутировать, что выражается через [X^i, X^j] ≠ 0. Это фундаментально для понимания квантовой структуры пространства-времени.

Роль Д-бран в квантовой гравитации

Д-браны не только локализуют открытые струны, но и действуют как солитонные объекты в теории струн, обладающие массой и зарядами по отношению к калибровочным полям Рамонд–Рамонд (RR). Основные аспекты их роли:

  1. Гравитационные источники: Д-браны деформируют окружающее пространство-время, создавая точечные или протяжённые гравитационные поля, аналогичные чёрным дыркам в сверхсимметричных теориях.
  2. Дуальность открытых и замкнутых струн: Через D-браны открытые струны связаны с замкнутыми струнами, что позволяет трактовать гравитацию как следствие динамики открытых струн на D-бранах.
  3. АдS/СФТ соответствие: N совпадающих D3-бран в типе IIB теории струн создают фон AdS5 × S5, что является краеугольным камнем голографической дуальности.

Математическая структура и супергруппы

Д-браны удобно описывать через суперсимметричные калибровочные теории на их поверхности. Основные структуры:

  • U(1) для одной D-браны → простое калибровочное поле.
  • U(N) для N совпадающих D-бран → матричные поля и комплексные спектры возбуждений.
  • Квантование концевых точек открытой струны приводит к супералгебраическим структурам, включающим суперсимметричные мультиплеты и BPS-состояния.

Эти структуры обеспечивают согласованное объединение квантовой динамики струн с калибровочными теориями, что является одним из фундаментальных результатов современного подхода к квантовой гравитации.

Оглавление