В контексте квантовой гравитации теория возмущений играет ключевую роль для построения предсказаний, основанных на разложении полей гравитации вокруг фиксированного фона. Обычно рассматривается разложение метрического тензора gμν вокруг фоновой метрики ημν (плоское пространство Минковского) или более общей фоновой метрики ḡμν:
$$ g_{\mu\nu} = \bar{g}_{\mu\nu} + \kappa h_{\mu\nu}, \quad \kappa = \sqrt{32\pi G}. $$
Здесь hμν — малое возмущение (гравитон), которое рассматривается как квантовое поле. Теория возмущений строится как разложение действия Эйнштейна–Гилберта по степеням hμν:
$$ S[g] = S[\bar{g}] + \frac{\delta S}{\delta g}\Big|_{\bar{g}} h + \frac{1}{2} \frac{\delta^2 S}{\delta g^2}\Big|_{\bar{g}} h^2 + \dots $$
Для плоского фона первый член даёт константу, а второй обнуляется при выполнении уравнений Эйнштейна для фона. Основная динамика возмущений описывается квадратичным членом, который задаёт пропагатор гравитона, а члены высших порядков формируют взаимодействия, используемые в теории возмущений.
Ключевым элементом диаграмм Фейнмана является пропагатор поля. Для возмущений гравитационного поля hμν в линейной фиксации (например, де Дондеровской) пропагатор в импульсном представлении имеет вид:
$$ D_{\mu\nu\alpha\beta}(k) = \frac{i}{k^2 + i\epsilon} \left( \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta} + \eta_{\mu\beta}\eta_{\nu\alpha} - \eta_{\mu\nu}\eta_{\alpha\beta} \right). $$
Здесь ημν — метрический тензор Минковского. Пропагатор задаёт амплитуду передачи гравитационного возмущения между двумя точками и является основой для построения диаграмм Фейнмана.
Высшие члены разложения действия δnS/δgn задают многочастичные вершины взаимодействия гравитонов. Для квантовой гравитации это означает:
К примеру, трёхгравитонная вершина выражается через комбинацию производных тензора hμν, что делает расчёты крайне сложными. Однако, диаграммный формализм позволяет систематически учитывать все взаимодействия, представляя их графически.
Диаграммы Фейнмана — визуальный инструмент для представления членов теории возмущений. Каждая диаграмма соответствует математическому выражению для амплитуды процесса. Основные элементы:
Простейшие диаграммы включают:
Каждая петля вносит интеграл по внутреннему четырёхмерному импульсу, что часто приводит к ультрафиолетовым (UV) дивергенциям.
В отличие от калибровочных теорий (например, квантовой электродинамики), квантовая гравитация в стандартной форме не является ренормируемой. Рассмотрим одно из известных выражений для двухгравитонной петли:
$$ \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{N_{\mu\nu\alpha\beta}(k,p)}{k^2 (k+p)^2}, $$
где Nμναβ — сложная тензорная структура, формируемая вершинами. Этот интеграл расходится как ∼ Λ2 или ∼ ln Λ при UV обрезке Λ → ∞. Именно это делает стандартное квантование Эйнштейновой гравитации проблематичным на высоких энергиях.
Для упрощённых моделей или в рамках эффективной теории гравитации такие диаграммы всё же дают предсказуемые квантовые поправки к классическим решениям, например, к потенциалу Ньютона:
$$ V(r) = -\frac{G m_1 m_2}{r} \left(1 + \alpha \frac{G \hbar}{r^2} + \dots \right), $$
где α — численный коэффициент, вычисляемый из петельных диаграмм.
Современный подход к квантовой гравитации часто использует эффективное поле. В нём учитываются:
В рамках эффективной теории возмущения и диаграммы Фейнмана дают корректные низкоэнергетические предсказания, несмотря на фундаментальную неренормируемость полной теории.
Такой подход позволяет систематически переходить от классической гравитации к квантовым эффектам, используя знакомый из других квантовых полей формализм.