Квантовая гравитация — это попытка объединить квантовую механику и общую теорию относительности, описывающую гравитацию как геометрию пространства-времени. Для этого необходимо использовать язык дифференциальной геометрии и римановых многообразий, который позволяет описывать кривизну пространства-времени и его динамику в математически строгой форме.
Риманово многообразие (ℳ, g) определяется как гладкое многообразие ℳ размерности n, снабженное метрикой g, то есть симметричной невырожденной тензорной функцией типа (0, 2):
g = gμν(x) dxμ ⊗ dxν.
Метрика позволяет измерять длины кривых, углы между векторами и объёмные элементы, а также вводит кривизну, которая в контексте общей теории относительности соответствует гравитационному полю.
Ключевой момент: метрика gμν является динамической переменной в классической гравитации, а в квантовой гравитации рассматривается как квантовый оператор с неопределённостями.
Ключевым объектом, характеризующим гравитацию, является тензор кривизны Римана R σμνρ, который определяется через соединение Леви–Чивиты Γμνρ:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Соединение Леви–Чивиты определяется из условия совместимости с метрикой и отсутствия торсионной составляющей:
$$ \nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0, \quad \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac12 g^{\rho\sigma} \big( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \big). $$
Тензор Римана полностью описывает локальную кривизну пространства-времени и является основой для тензора Риччи Rμν = R μλνλ и скалярной кривизны R = gμνRμν.
В классической общей теории относительности динамика гравитации задаётся через действие Эйнштейна–Хилберта:
$$ S_\text{EH} = \frac{1}{16\pi G} \int_{\mathcal{M}} R \sqrt{-g} \, d^4 x. $$
Вариация по метрике gμν даёт уравнения Эйнштейна:
$$ R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R = 8 \pi G \, T_{\mu\nu}. $$
В квантовой теории гравитации метрика и связанные с ней тензоры становятся операторами, а путь интегрирования происходит через функциональные интегралы:
???? = ∫????gμν eiSEH[g]/ℏ.
В подходе путь квантизации (path integral quantization) суммируются все возможные геометрии между заданными начальными и конечными условиями:
⟨geometry final|geometry initial⟩ = ∫гран. условия????gμν eiSEH[g]/ℏ.
Существуют серьёзные математические трудности: интеграл по метрикам плохо определён, возникает проблема неразрывности и аномалий.
Другой подход — каноническое квантование, где пространство-время разрезается на трёхмерные срезы Σt (3+1 разложение Арнова–Дезара–Миснера, ADM). Метрика разлагается на:
ds2 = −N2dt2 + hij(dxi + Nidt)(dxj + Njdt),
где hij — трехмерная метрика среза, N и Ni — функции сдвига и лапсы. Канонические переменные hij и их сопряжённые моменты πij подчиняются коммутационным соотношениям:
[ĥij(x), π̂kl(y)] = iℏδi(kδjl)δ3(x − y).
Уравнение Вальда (Wheeler–DeWitt) задаёт квантовую динамику:
$$ \hat{\mathcal{H}} \Psi[h_{ij}] = 0, $$
где Ψ[hij] — волновая функциональная, описывающая квантовое состояние геометрии.
Квантовая гравитация требует учета топологических флуктуаций. Дифференциальная геометрия и римановы многообразия позволяют классифицировать возможные срезы и кривизны. Важными объектами становятся:
Флуктуации метрики на малых масштабах приводят к:
Ключевой момент: в масштабах порядка планковской длины lP ∼ 10−35 м классическое представление о римановом многообразии теряет строгий смысл, и дифференциальная геометрия переходит в квантовую геометрию.
В петлевой квантовой гравитации (Loop Quantum Gravity, LQG) основным объектом становятся гильбертовы пространства функциональных состояний, основанные на графах и петлях, которые интегрируют квантовые флуктуации:
Ψγ[A] = функционал петли по графу γ от калибровочного соединения A.
Связь с римановыми многообразиями проявляется через восстановление эффективной метрики из состояний петель, что позволяет извлечь классическую кривизну как среднее значение квантовых операторов.